Ache o máximo e o mínimo de
sujeita aos vínculos
e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeita às restrições
e
. Para resolver isso, vamos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as restrições para reduzir o número de variáveis. Observando a segunda restrição
, podemos resolver para
:
Agora, substituímos
na função
:
Então, a função a ser otimizada agora é
, sujeita à restrição
.
Passo 3
Vamos aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange. Introduzimos um multiplicador
para a restrição
. A Lagrangiana fica:
Para encontrar os pontos extremos, derivamos a Lagrangiana em relação a
,
e
e igualamos a zero:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações obtido:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 5
Sabendo que
, substituímos na restrição
:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
usando a restrição
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora temos dois pontos candidatos para os extremos:
Vamos calcular
em cada ponto.
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:
Resposta
O valor máximo de
é
e o valor mínimo é
.
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Qual o valor máximo da função
sobre a esfera
?
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em que
é a região limitada pela circunferência
.
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para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.3) parabolóides e
(1.3) parabolóides