Qual o valor máximo da função f(x, y, z) = 2x + 2y - z sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor máximo da função sobre a esfera definida por . Esse tipo de problema envolve otimização com restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolvê-lo. Precisaremos entender um pouco sobre derivadas parciais e a técnica dos multiplicadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o máximo da função na esfera . A esfera representa todas as combinações de que satisfazem a equação , ou seja, pontos a uma distância de 2 do centro.

Passo 3

Para encontrar o máximo de nessa esfera, usamos os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que no ponto de máximo, o gradiente de é paralelo ao gradiente da restrição . Isso nos dá as seguintes equações:
Onde é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Calculando os gradientes:
Portanto, as equações ficam:

Passo 5

Podemos simplificar as equações dividindo ambos os lados por 2:
Observamos que porque e .

Passo 6

Como , vamos chamar ambos de . Então, temos:
Usando , podemos expressar . Substituindo na terceira equação:

Passo 7

Agora, usamos a restrição da esfera . Substituindo e :

Passo 8

Agora, encontramos dois conjuntos de pontos que podem ser máximos ou mínimos:
  1. Quando :
  1. Quando :

Passo 9

Calculamos os valores de nos dois pontos:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O valor máximo da função sobre a esfera é 6.

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