Qual o valor máximo da função
sobre a esfera
?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor máximo da função
sobre a esfera definida por
. Esse tipo de problema envolve otimização com restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para resolvê-lo. Precisaremos entender um pouco sobre derivadas parciais e a técnica dos multiplicadores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o máximo da função
na esfera
. A esfera representa todas as combinações de
que satisfazem a equação
, ou seja, pontos a uma distância de 2 do centro.
Passo 3
Para encontrar o máximo de
nessa esfera, usamos os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que no ponto de máximo, o gradiente de
é paralelo ao gradiente da restrição
. Isso nos dá as seguintes equações:
Onde
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Calculando os gradientes:
Portanto, as equações ficam:
Passo 5
Podemos simplificar as equações dividindo ambos os lados por 2:
Observamos que
porque
e
.
Passo 6
Como
, vamos chamar ambos de
. Então, temos:
Usando
, podemos expressar
. Substituindo na terceira equação:
Passo 7
Agora, usamos a restrição da esfera
. Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, encontramos dois conjuntos de pontos que podem ser máximos ou mínimos:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 9
Calculamos os valores de
nos dois pontos:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O valor máximo da função
sobre a esfera
é 6.
Exercícios relacionados
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.1) e
(22.1)
Ache o máximo e o mínimo de
sujeita aos vínculos
e