Calcule
em que
é a região limitada pela circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O enunciado define a região
como a área dentro da circunferência
e onde
. Vamos precisar entender como representar essa região e escolher as melhores coordenadas para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência
de uma forma mais fácil de trabalhar. Subtraindo
de ambos os lados, temos
. Completando o quadrado para
, ficamos com
. Isso mostra que a circunferência é centrada em
e tem raio
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região
. Ela está dentro da circunferência
e acima da linha
(já que
) e abaixo de
. Então, precisamos encontrar os limites de integração para
e
.
Passo 4
Para encontrar os limites de
, observamos que a circunferência vai de
a
. Isso porque o raio é
e o centro está em
, então 1 unidade para a esquerda e para a direita chega a
e
.
Passo 5
Para cada
entre
e
,
varia de
até a menor entre a circunferência e a linha
. Então, precisamos expressar
em termos de
a partir da circunferência:
.
Como
, os limites de
vão de
até
.
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Passo 9
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Calculamos a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Ache o máximo e o mínimo de
sujeita aos vínculos
e
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.3) parabolóides e
(1.3) parabolóides
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.