Calcule integral dupla D 2 y d A em que D é a região limitada pela circunferência x^2+y^2=2 x com 0 <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD 2y , dA. O enunciado define a região D como a área dentro da circunferência x^2+y^2=2x e onde 0 <= y <= x. Vamos precisar entender como representar essa região e escolher as melhores coordenadas para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência x^2+y^2=2x de uma forma mais fácil de trabalhar. Subtraindo 2x de ambos os lados, temos x^2 - 2x + y^2 = 0. Completando o quadrado para x, ficamos com (x-1)^2 + y^2 = 1. Isso mostra que a circunferência é centrada em (1,0) e tem raio 1.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região D. Ela está dentro da circunferência (x-1)^2 + y^2 = 1 e acima da linha y=0 (já que 0 <= y) e abaixo de y=x. Então, precisamos encontrar os limites de integração para x e y.

Passo 4

Para encontrar os limites de x, observamos que a circunferência vai de x=0 a x=2. Isso porque o raio é 1 e o centro está em x=1, então 1 unidade para a esquerda e para a direita chega a 0 e 2.

Passo 5

Para cada x entre 0 e 2, y varia de 0 até a menor entre a circunferência e a linha y=x. Então, precisamos expressar y em termos de x a partir da circunferência:
(x-1)^2 + y^2 = 1 Rightarrow y = raiz1 - (x-1)^2.
Como y <= x, os limites de y vão de 0 até raiz1 - (x-1)^2.

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaD 2y , dA = integralx=0^2 integraly=0^raiz1 - (x-1)^2 2y , dy , dx

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a y primeiro:
integral0^raiz1 - (x-1)^2 2y , dy = [ y^2 ]0^raiz1 - (x-1)^2 = 1 - (x-1)^2

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^2 (1 - (x-1)^2) , dx

Passo 9

Vamos expandir (x-1)^2:
1 - (x^2 - 2x + 1) = 1 - x^2 + 2x -1 = -x^2 + 2x
Então, a integral fica:
integral0^2 (-x^2 + 2x) , dx

Passo 10

Calculamos a integral:
integral (-x^2 + 2x) , dx = -x^33 + x^2 + C
Agora, avaliamos de 0 a 2:
( -2^33 + 2^2 ) - ( 0 + 0 ) = -83 + 4 = 43

Resposta

O valor da integral dupla é dfrac43.

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