em que
é a região delimitada pelo círculo
no primeiro quadrante.
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelo círculo
no primeiro quadrante. Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. O círculo
tem raio
e está centrado na origem. Como estamos no primeiro quadrante, os valores de
e
são positivos. Em coordenadas polares, isso significa que o ângulo
varia de
a
e o raio
varia de
a
.
Passo 3
Em coordenadas polares, substituímos
e
por
e
, onde:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
. A expressão
se transforma em
.
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Com o resultado da integral em
, a integral agora fica:
Resposta
O valor da integral é
.
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?
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converge ou diverge. Justifique sua resposta.
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sujeita aos vínculos
e
Calcule
em que
é a região limitada pela circunferência
.