integral dupla D V(4-x^2-y^2) d A em que D é a região delimitada pelo círculo x^2+y^2=4 no primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integral duplaD V(4 - x^2 - y^2) dA, onde a região D é delimitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4 no primeiro quadrante. Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração D. O círculo x^2 + y^2 = 4 tem raio 2 e está centrado na origem. Como estamos no primeiro quadrante, os valores de x e y são positivos. Em coordenadas polares, isso significa que o ângulo theta varia de 0 a pi2 e o raio r varia de 0 a 2.

Passo 3

Em coordenadas polares, substituímos x e y por r e theta, onde:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta. A expressão 4 - x^2 - y^2 se transforma em 4 - r^2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaD V(4 - x^2 - y^2) dA = V integral0^pi2 integral0^2 (4 - r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^2 (4r - r^3) , dr = [2r^2 - 14r^4]0^2 = (2 cdot 4 - 14 cdot 16) - 0 = (8 - 4) = 4

Passo 6

Com o resultado da integral em r, a integral agora fica:
V integral0^pi2 4 , dtheta = 4V [theta]0^pi2 = 4V cdot pi2 = 2Vpi

Resposta

O valor da integral é 2Vpi.

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