Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.3) parabolóides z=8-x^2-3 y^2 e z=3 x^2+y^2 ; f(x, y, z)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre um sólido que é limitado por duas parabolóides: e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Precisamos determinar os limites de integração que descrevem o sólido e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas parabolóides se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
8 - x^2 - 3y^2 = 3x^2 + y^2
Vamos resolver isso para encontrar a região de interseção.

Passo 3

Rearranjando os termos:
8 = 4x^2 + 4y^2
Dividindo ambos os lados por 4:
2 = x^2 + y^2
Então, a interseção das duas parabolóides ocorre quando . Isso descreve um círculo no plano com raio .

Passo 4

Agora, sabemos que a região está limitada por esse círculo no plano . Podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração, já que a região é circular.
Em coordenadas polares:
O raio varia de 0 a e o ângulo varia de 0 a .

Passo 5

As parabolóides em coordenadas polares ficam:
zsuperior = 8 - r^2 - 3r^2sin^2theta
zinferior = 3r^2cos^2theta + r^2sin^2theta
Entretanto, para simplificar a integração, vamos calcular a diferença entre as duas parabolóides que nos dará a altura h = zsuperior - zinferior = [8 - r^2 - 3r^2sin^2theta] - [3r^2cos^2theta + r^2sin^2theta] em cada ponto h = 8 - r^2 - 3r^2sin^2theta - 3r^2cos^2theta - r^2sin^2theta :
h = 8 - r^2 - 4r^2sin^2theta - 3r^2cos^2theta
Simplificando:
Para facilitar, vamos manter essa expressão para a altura na próxima etapa.

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla. Em coordenadas polares, a integral de integral triplaU x^2 , dV = integral0^2pi integral0^raiz2 integralzinferior^zsuperior (r^2cos^2theta) , r , dz , dr , dtheta se transforma em:
Aqui, é em coordenadas polares e multiplicamos por devido ao jacobiano das coordenadas polares.

Passo 7

Vamos integrar primeiro em relação a integralzinferior^zsuperior r^3cos^2theta , dz = r^3cos^2theta (zsuperior - zinferior) :
= r^3cos^2theta cdot h
= r^3cos^2theta [8 - r^2 - 4r^2sin^2theta - 3r^2cos^2theta]
Substituindo a expressão de :

Passo 8

Agora, a integral se reduz a:
integral0^2pi integral0^raiz2 r^3cos^2theta [8 - r^2 - 4r^2sin^2theta - 3r^2cos^2theta] , dr , dtheta
Esta integral pode ser dividida em partes mais simples:
8r^3cos^2theta - r^5cos^2theta - 4r^5cos^2thetasin^2theta - 3r^5cos^4theta

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida separadamente usando integrais trigonométricas conhecidas.

Passo 10

Após integrar cada termo e somar os resultados, obtemos o valor final da integral tripla.

Resposta

O valor da integral tripla é .

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