Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.3) parabolóides
e
(1.3) parabolóides
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre um sólido
que é limitado por duas parabolóides:
e
. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Precisamos determinar os limites de integração que descrevem o sólido
e então calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas parabolóides se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver isso para encontrar a região de interseção.
Passo 3
Rearranjando os termos:
Dividindo ambos os lados por 4:
Então, a interseção das duas parabolóides ocorre quando
. Isso descreve um círculo no plano
com raio
.
Passo 4
Agora, sabemos que a região
está limitada por esse círculo no plano
. Podemos usar coordenadas polares para simplificar a integração, já que a região é circular.
Em coordenadas polares:
O raio
varia de 0 a
e o ângulo
varia de 0 a
.
Passo 5
As parabolóides em coordenadas polares ficam:
Entretanto, para simplificar a integração, vamos calcular a diferença entre as duas parabolóides que nos dará a altura
em cada ponto
:
Simplificando:
Para facilitar, vamos manter essa expressão para a altura
na próxima etapa.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla. Em coordenadas polares, a integral de
se transforma em:
Aqui,
é
em coordenadas polares e multiplicamos por
devido ao jacobiano das coordenadas polares.
Passo 7
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Substituindo a expressão de
:
Passo 8
Agora, a integral se reduz a:
Esta integral pode ser dividida em partes mais simples:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Cada uma dessas integrais pode ser resolvida separadamente usando integrais trigonométricas conhecidas.
Passo 10
Após integrar cada termo e somar os resultados, obtemos o valor final da integral tripla.
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
em que
é a região limitada pela circunferência
.
Ache o máximo e o mínimo de
sujeita aos vínculos
e
Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
É verdade que, se
é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente
de números positivos com
para cada
? Existe uma