Seja
. Achar o máximo e o mínimo de
em:
e)
e
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma função
e precisa encontrar os valores máximos e mínimos dessa função dentro de um conjunto específico. Esse conjunto é definido por dois critérios:
- Restrição de esfera:
. Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 2 no espaço tridimensional. - Restrição de plano:
. Isso limita nossa área de busca a uma região da esfera onde a coordenada é pelo menos igual à soma de e .
Para resolver isso, vamos usar a técnica de multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a “função Lagrangiana”. Basicamente, combinamos nossa função
com a restrição usando um multiplicador, que vamos chamar de
. A fórmula fica assim:
Substituindo
na equação, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a cada variável (
) e igualar a zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Essas equações vão nos ajudar a encontrar os valores de
e
que otimizam a função
dentro das restrições dadas.
Passo 4
Vamos agora resolver esse sistema de equações. Começamos com as primeiras três equações:
Observando as equações [1] e [2], vemos que há uma relação simétrica entre
e
. Vamos resolver uma delas em termos da outra.
De [1]:
Substituímos esse
na equação de [2]:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Isso nos dá duas possibilidades para
:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Usando a equação [3]:
Agora, encontramos
em termos de
:
Então,
.
Agora, usamos a restrição da esfera:
Resolvendo para
:
Portanto, temos dois pontos:
-
, -
,
Verificando a restrição
:
Para
,
:
Para
,
:
Então, apenas o segundo ponto atende às restrições.
Ponto 1:
Passo 6
Caso 2:
Usando a equação [3]:
Agora, encontramos
em termos de
:
Então,
.
Agora, usamos a restrição da esfera:
Resolvendo para
:
Então, temos o ponto:
-
, ,
Verificando a restrição
:
Então, esse ponto não satisfaz a restrição.
Ponto 2: Não válido.
Passo 7
Agora, temos apenas um ponto que atende a todas as restrições:
Vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Calculando cada termo:
Resposta
O mínimo de
no conjunto dado é
no ponto
. Não há valores máximos dentro das restrições estabelecidas.
Exercícios relacionados
Considere
. Nos casos
a)
e
b)
(i) Verifique que possui mínimo absoluto em
.
(i) Verifique que
Em cada um dos Problemas 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não indua o ponto singular.
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
c) e
;
c)
Sejam
um número real não-nulo e
, definida em
.
b) Classifique os dois pontos críticos de obtidos em (a).
b) Classifique os dois pontos críticos de