Seja . Achar o máximo e o mínimo de em:
e) e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma função e precisa encontrar os valores máximos e mínimos dessa função dentro de um conjunto específico. Esse conjunto é definido por dois critérios:
  1. Restrição de esfera: . Isso significa que estamos trabalhando dentro de uma esfera de raio 2 no espaço tridimensional.
  2. Restrição de plano: . Isso limita nossa área de busca a uma região da esfera onde a coordenada é pelo menos igual à soma de e .
Para resolver isso, vamos usar a técnica de multiplicadores de Lagrange, que é uma ferramenta poderosa para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a “função Lagrangiana”. Basicamente, combinamos nossa função com a restrição usando um multiplicador, que vamos chamar de . A fórmula fica assim:
Substituindo na equação, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a cada variável ( ) e igualar a zero. Vamos fazer isso passo a passo.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Essas equações vão nos ajudar a encontrar os valores de e que otimizam a função dentro das restrições dadas.

Passo 4

Vamos agora resolver esse sistema de equações. Começamos com as primeiras três equações:
Observando as equações [1] e [2], vemos que há uma relação simétrica entre e . Vamos resolver uma delas em termos da outra.
De [1]:
Substituímos esse na equação de [2]:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):
Isso nos dá duas possibilidades para :
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1:
Usando a equação [3]:
Agora, encontramos em termos de :
Então, .
Agora, usamos a restrição da esfera:
Resolvendo para :
Portanto, temos dois pontos:
  • ,
  • ,
Verificando a restrição :
Para , :
Para , :
Então, apenas o segundo ponto atende às restrições.
Ponto 1:

Passo 6

Caso 2:
Usando a equação [3]:
Agora, encontramos em termos de :
Então, .
Agora, usamos a restrição da esfera:
Resolvendo para :
Então, temos o ponto:
  • , ,
Verificando a restrição :
Então, esse ponto não satisfaz a restrição.
Ponto 2: Não válido.

Passo 7

Agora, temos apenas um ponto que atende a todas as restrições:
Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Calculando cada termo:

Resposta

O mínimo de no conjunto dado é no ponto . Não há valores máximos dentro das restrições estabelecidas.

Exercícios relacionados

Considere . Nos casos a) e b)
(i) Verifique que possui mínimo absoluto em .
Em cada um dos Problemas 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não indua o ponto singular.
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
c) e ;
Sejam um número real não-nulo e , definida em .
b) Classifique os dois pontos críticos de obtidos em (a).