Considere f(alpha, beta)=integral0^1(alpha x+beta-f(x))^2 d x. Nos casos a) f(x)=x^2 e b) f(x)=1x^2+1
(i) Verifique que f(alpha, beta) possui mínimo absoluto em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função f(alpha, beta) = integral0^1 (alpha x + beta - f(x))^2 , dx definida por:
Nos casos a) e b) , precisamos verificar se essa função tem um mínimo absoluto no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas parciais e condições para mínimos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que tem um mínimo absoluto. Isso quer dizer que existe um par em tal que é menor ou igual a todas as outras possíveis combinações de e . Basicamente, estamos procurando os valores de e que melhor aproximam de no sentido do menor erro quadrático.

Passo 3

Para encontrar esse mínimo, precisamos derivar partial fpartial alpha = 2 integral0^1 (alpha x + beta - f(x)) cdot x , dx em relação a partial fpartial beta = 2 integral0^1 (alpha x + beta - f(x)) cdot 1 , dx e integral0^1 (alpha x + beta - f(x)) cdot x , dx = 0 e igualar as derivadas a zero. Essas derivadas parciais nos darão as condições necessárias para um ponto crítico, que pode ser um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Vamos calcular as derivadas parciais:
integral0^1 (alpha x + beta - f(x)) , dx = 0
Igualando-as a zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Dependendo do caso (a ou b), a função muda, mas o método permanece o mesmo. Após resolver o sistema, obteremos valores específicos de e que minimizam .

Passo 5

Para garantir que o ponto encontrado é realmente um mínimo absoluto, precisamos verificar a convexidade da função H = partial^2 fpartial alpha^2 & partial^2 fpartial alpha partial beta partial^2 fpartial beta partial alpha & partial^2 fpartial beta^2 . Calculamos a matriz Hessiana, que é a matriz das derivadas de segunda ordem:
Se essa matriz for positiva definida, então é convexa e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo absoluto.

Resposta

Assim, verificamos que a função possui um mínimo absoluto em para ambos os casos apresentados, garantindo que existe um par que minimiza o erro quadrático entre e .

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