Considere . Nos casos a) e b)
(i) Verifique que possui mínimo absoluto em .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
Nos casos a) e b) , precisamos verificar se essa função tem um mínimo absoluto no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo, como derivadas parciais e condições para mínimos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que tem um mínimo absoluto. Isso quer dizer que existe um par em tal que é menor ou igual a todas as outras possíveis combinações de e . Basicamente, estamos procurando os valores de e que melhor aproximam de no sentido do menor erro quadrático.
Passo 3
Para encontrar esse mínimo, precisamos derivar em relação a e e igualar as derivadas a zero. Essas derivadas parciais nos darão as condições necessárias para um ponto crítico, que pode ser um mínimo, máximo ou ponto de sela.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Igualando-as a zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Dependendo do caso (a ou b), a função muda, mas o método permanece o mesmo. Após resolver o sistema, obteremos valores específicos de e que minimizam .
Passo 5
Para garantir que o ponto encontrado é realmente um mínimo absoluto, precisamos verificar a convexidade da função . Calculamos a matriz Hessiana, que é a matriz das derivadas de segunda ordem:
Se essa matriz for positiva definida, então é convexa e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo absoluto.
Resposta
Assim, verificamos que a função possui um mínimo absoluto em para ambos os casos apresentados, garantindo que existe um par que minimiza o erro quadrático entre e .