Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
eliminando o parametro primeiro.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é encontrar a equação da tangente à curva no ponto . A curva está definida por meio de equações paramétricas:
Vamos resolver isso utilizando dois métodos. No primeiro, vamos eliminar o parâmetro para achar a equação da curva e depois derivar para encontrar a tangente. No segundo método, vamos derivar diretamente usando as equações paramétricas. Vamos nessa!

Passo 2

Método 1: Eliminando o parâmetro primeiro
Primeiro, precisamos eliminar o parâmetro das equações paramétricas para obter uma relação direta entre e .
Sabemos que:
Lembrando da identidade trigonométrica:
Substituindo na identidade:
Isso nos dá a equação da curva em termos de e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada para obter a inclinação da tangente.
A função que temos é:
Para derivar, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a equação para deixá-la na forma :
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:

Passo 7

Método 2: Usando derivadas paramétricas
Agora, vamos resolver o mesmo problema utilizando derivadas paramétricas.
Temos:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
A derivada é dada por:

Passo 8

Vamos determinar o valor de no ponto .
Sabemos que:
Então,

Passo 9

Agora, calculamos para :
Portanto, a inclinação .

Passo 10

Com a inclinação e o ponto , usamos novamente a fórmula da reta:
Substituindo:

Passo 11

Simplificando a equação:

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto é:

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