Ache a medida em radianos do ângulo entre u e v nos casos
(a) u=(1,0,1), v=(-2,10,2)
(b) u=(3,3,0), v=(2,1,-2)
© u=(raiz32, 12, 0), v=(-raiz32, 12, raiz3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar a medida em radianos do ângulo entre os vetores u = (1, 0, 1) e v = (-2, 10, 2). Para isso, vamos usar o produto escalar e a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

O produto escalar de dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Aplicando os valores:
u cdot v = (1)(-2) + (0)(10) + (1)(2) = -2 + 0 + 2 = 0

Passo 3

A norma de um vetor u = (ux, uy, uz) é:
|u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2
Para u:
|u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2
Para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 10^2 + 2^2 = raiz4 + 100 + 4 = raiz108 = 6raiz3

Passo 4

A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores é:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 0raiz2 cdot 6raiz3 = 0
Então,
theta = arccos(0) = pi2 radianos

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo entre os vetores u = (3, 3, 0) e v = (2, 1, -2). Usaremos a mesma metodologia: produto escalar e normas dos vetores.

Passo 6

u cdot v = (3)(2) + (3)(1) + (0)(-2) = 6 + 3 + 0 = 9

Passo 7

Para u:
|u| = raiz3^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 = 3raiz2
Para v:
|v| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 8

cos(theta) = 93raiz2 cdot 3 = 99raiz2 = 1raiz2
Então,
theta = arccos(1raiz2) = pi4 radianos

Passo 9

Por último, vamos calcular o ângulo entre u = (raiz32, 12, 0) e v = (-raiz32, 12, raiz3). Novamente, utilizaremos o produto escalar e as normas.

Passo 10

u cdot v = (raiz32)(-raiz32) + (12)(12) + (0)(raiz3) = -34 + 14 + 0 = -24 = -12

Passo 11

Para u:
|u| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + 0^2 = raiz34 + 14 + 0 = raiz1 = 1
Para v:
|v| = raiz(-raiz32)^2 + (12)^2 + (raiz3)^2 = raiz34 + 14 + 3 = raiz4 = 2

Passo 12

cos(theta) = -121 cdot 2 = -14
Então,
theta = arccos(-14) approx 1.8239 radianos

Resposta

O ângulo entre u e v é aproximadamente 1.8239 radianos.

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