Dadas as retas
r1: x-12=-y ; z=3 e r2:l y=x-1 z=x+2
encontrar equações reduzidas na variável x para a reta que passa por A=(0,1,0) e pelo ponto de interseção entre r1 e r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente tem duas retas no espaço e precisa encontrar as equações reduzidas de uma nova reta que passa por um ponto dado e pelo ponto de interseção entre as duas retas fornecidas. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas x-12 = -y e z = 3 e x = 2t + 1, y = -t, z = 3 .
  • Para a reta y = x - 1, z = x + 2 :
    x = s, y = s - 1, z = s + 2
    Isso significa que podemos parametrizar usando um parâmetro :
  • Para a reta :
    Podemos parametrizar usando :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre 2t + 1 = s (para o eixo x) e -t = s - 1 (para o eixo y) . Para isso, igualamos as coordenadas:
3 = s + 2 (para o eixo z)
3 = s + 2 implies s = 1
2t + 1 = 1 implies 2t = 0 implies t = 0
Resolvendo a última equação:
B = (1, 0, 3)
Substituindo na primeira equação:
Portanto, o ponto de interseção é:

Passo 4

Agora que temos os dois pontos pelos quais a nova reta passa: AB = B - A = (1-0, 0-1, 3-0) = (1, -1, 3) e , vamos encontrar a direção dessa reta. A direção é dada pelo vetor que liga a :

Passo 5

Com o ponto x = 0 + 1 cdot t = t e o vetor direção y = 1 - 1 cdot t = 1 - t , podemos escrever as equações paramétricas da nova reta:
z = 0 + 3 cdot t = 3t

Passo 6

Para obter as equações reduzidas na variável y = 1 - x , resolvemos z = 3x e substituímos nas demais equações:

Resposta

As equações reduzidas da reta são:
y = 1 - x
z = 3x

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