Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear homogêneo, que é basicamente um conjunto de equações lineares igualadas a zero. O objetivo aqui é encontrar uma base e saber a dimensão do espaço solução desse sistema. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes e fazer umas operações pra simplificar o sistema, tipo a eliminação de Gauss. Vamos resolver juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada. Parece que a terceira equação está incompleta, mas vou assumir que ela é . Então, nosso sistema fica assim:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema. Como todas as equações são igualadas a zero, a coluna de constantes será só zeros:
Passo 4
Vamos simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss para chegar em uma forma mais fácil de resolver. Primeiro, vamos usar a segunda equação para simplificar as outras.
Dividindo a segunda linha por 2 para facilitar:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o das outras linhas usando a segunda linha. Subtraindo 4 vezes a segunda linha da primeira:
E subtraindo 6 vezes a segunda linha da terceira:
A matriz fica:
Passo 6
Observamos que a primeira e a terceira linha têm a mesma segunda e terceira coluna. Vamos subtrair a primeira linha da terceira para simplificar:
Então, a matriz fica:
Passo 7
Agora, podemos resolver a partir da última linha. A terceira linha nos dá:
Com , vamos voltar para a segunda linha:
E da primeira linha:
Passo 8
Vamos expressar as variáveis em termos de parâmetros livres. Aqui, é livre (podemos escolher qualquer valor para ele). Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos expressar as variáveis em função de :
Podemos escrever isso como:
Resposta
A base do espaço solução é o vetor e a dimensão desse espaço é 1.