Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
r 4 x+3 y-z+5 t=0 2 x-y+z-t=0 6 x+2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear homogêneo, que é basicamente um conjunto de equações lineares igualadas a zero. O objetivo aqui é encontrar uma base e saber a dimensão do espaço solução desse sistema. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes e fazer umas operações pra simplificar o sistema, tipo a eliminação de Gauss. Vamos resolver juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada. Parece que a terceira equação está incompleta, mas vou assumir que ela é 4x + 3y - z + 5t = 0 2x - y + z - t = 0 6x + 2y = 0 . Então, nosso sistema fica assim:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema. Como todas as equações são igualadas a zero, a coluna de constantes será só zeros:
4 & 3 & -1 & 5 & | & 0 2 & -1 & 1 & -1 & | & 0 6 & 2 & 0 & 0 & | & 0

Passo 4

Vamos simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss para chegar em uma forma mais fácil de resolver. Primeiro, vamos usar a segunda equação para simplificar as outras.
Dividindo a segunda linha por 2 para facilitar:
4 & 3 & -1 & 5 & | & 0 1 & -0.5 & 0.5 & -0.5 & | & 0 6 & 2 & 0 & 0 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 4 - 4(1) = 0 3 - 4(-0.5) = 3 + 2 = 5 -1 - 4(0.5) = -1 - 2 = -3 5 - 4(-0.5) = 5 + 2 = 7 das outras linhas usando a segunda linha. Subtraindo 4 vezes a segunda linha da primeira:
6 - 6(1) = 0 2 - 6(-0.5) = 2 + 3 = 5 0 - 6(0.5) = 0 - 3 = -3 0 - 6(-0.5) = 0 + 3 = 3
E subtraindo 6 vezes a segunda linha da terceira:
0 & 5 & -3 & 7 & | & 0 1 & -0.5 & 0.5 & -0.5 & | & 0 0 & 5 & -3 & 3 & | & 0
A matriz fica:

Passo 6

Observamos que a primeira e a terceira linha têm a mesma segunda e terceira coluna. Vamos subtrair a primeira linha da terceira para simplificar:
0 - 0 = 0 5 - 5 = 0 -3 - (-3) = 0 3 - 7 = -4
Então, a matriz fica:
0 & 5 & -3 & 7 & | & 0 1 & -0.5 & 0.5 & -0.5 & | & 0 0 & 0 & 0 & -4 & | & 0

Passo 7

Agora, podemos resolver a partir da última linha. A terceira linha nos dá:
-4t = 0 implies t = 0
Com x - 0.5y + 0.5z - 0.5(0) = 0 implies x - 0.5y + 0.5z = 0 implies x = 0.5y - 0.5z , vamos voltar para a segunda linha:
5y - 3z + 7(0) = 0 implies 5y - 3z = 0 implies y = 35z
E da primeira linha:

Passo 8

Vamos expressar as variáveis em termos de parâmetros livres. Aqui, y = 35z x = 0.5(35z) - 0.5z = 310z - 510z = -210z = -15z t = 0 é livre (podemos escolher qualquer valor para ele). Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos expressar as variáveis em função de x = -15z y = 35z z = z t = 0 :
x y z t = z cdot -15 35 1 0
Podemos escrever isso como:

Resposta

A base do espaço solução é o vetor -15 35 1 0 e a dimensão desse espaço é 1.

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