Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear homogêneo, que é basicamente um conjunto de equações lineares igualadas a zero. O objetivo aqui é encontrar uma base e saber a dimensão do espaço solução desse sistema. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes e fazer umas operações pra simplificar o sistema, tipo a eliminação de Gauss. Vamos resolver juntos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada. Parece que a terceira equação está incompleta, mas vou assumir que ela é . Então, nosso sistema fica assim:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema. Como todas as equações são igualadas a zero, a coluna de constantes será só zeros:

Passo 4

Vamos simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss para chegar em uma forma mais fácil de resolver. Primeiro, vamos usar a segunda equação para simplificar as outras.
Dividindo a segunda linha por 2 para facilitar:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o das outras linhas usando a segunda linha. Subtraindo 4 vezes a segunda linha da primeira:
E subtraindo 6 vezes a segunda linha da terceira:
A matriz fica:

Passo 6

Observamos que a primeira e a terceira linha têm a mesma segunda e terceira coluna. Vamos subtrair a primeira linha da terceira para simplificar:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora, podemos resolver a partir da última linha. A terceira linha nos dá:
Com , vamos voltar para a segunda linha:
E da primeira linha:

Passo 8

Vamos expressar as variáveis em termos de parâmetros livres. Aqui, é livre (podemos escolher qualquer valor para ele). Então, temos:

Passo 9

Agora, vamos expressar as variáveis em função de :
Podemos escrever isso como:

Resposta

A base do espaço solução é o vetor e a dimensão desse espaço é 1.

Exercícios relacionados

Sejam , . Nos itens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
(n)
Sejam , . Nos itens abaixo, clacule a matriz indicada (se possível).
§ .
Ache a medida em radianos do ângulo entre e nos casos
(a)
(b)
©
Dadas as retas
encontrar equações reduzidas na variável para a reta que passa por e pelo ponto de interseção entre e .