Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema linear homogêneo, que é basicamente um conjunto de equações lineares igualadas a zero. O objetivo aqui é encontrar uma base e saber a dimensão do espaço solução desse sistema. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes e fazer umas operações pra simplificar o sistema, tipo a eliminação de Gauss. Vamos resolver juntos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada. Parece que a terceira equação está incompleta, mas vou assumir que ela é 4x + 3y - z + 5t = 0 2x - y + z - t = 0 6x + 2y = 0 . Então, nosso sistema fica assim:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema. Como todas as equações são igualadas a zero, a coluna de constantes será só zeros:
Vamos simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss para chegar em uma forma mais fácil de resolver. Primeiro, vamos usar a segunda equação para simplificar as outras.
Vamos expressar as variáveis em termos de parâmetros livres. Aqui, y = 35z x = 0.5(35z) - 0.5z = 310z - 510z = -210z = -15z t = 0 é livre (podemos escolher qualquer valor para ele). Então, temos:
Passo 9
Agora, vamos expressar as variáveis em função de x = -15z y = 35z z = z t = 0 :
x y z t = z cdot -15 35 1 0
Podemos escrever isso como:
Resposta
A base do espaço solução é o vetor -15 35 1 0 e a dimensão desse espaço é 1.