Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos X=(1,0,0)+alpha(1,0,1)+ beta(-1,0,0) e x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que tá rolando aqui. A gente quer descobrir o ângulo entre dois planos no espaço tridimensional. O primeiro plano é dado de forma paramétrica: , e o segundo plano é definido pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores normais de cada plano e depois calcular o ângulo entre esses vetores usando um pouco de trigonometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor normal do primeiro plano. Ele está descrito de forma paramétrica, o que significa que temos dois vetores diretores: n1 = u times v = i & j & k 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 e n1 = (0 cdot 0 - 1 cdot 0)i - (1 cdot 0 - (-1) cdot 1)j + (1 cdot 0 - 0 cdot (-1))k . O vetor normal n1 = 0i - (0 + 1)j + 0k = (0, -1, 0) é perpendicular a ambos os vetores diretores, e podemos encontrá-lo fazendo o produto vetorial desses vetores.
Então, calculando:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do segundo plano. A equação do plano é n2 = (1, 1, 1) , e a forma geral de um plano é , onde é o vetor normal. Então, para este plano:

Passo 4

Com os dois vetores normais em mãos, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do cosseno:
cos(theta) = n1 cdot n2|n1| |n2|
Primeiro, vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (0)(1) + (-1)(1) + (0)(1) = 0 - 1 + 0 = -1 :
|n1| = raiz0^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 = 1
Agora, as normas dos vetores:
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
cos(theta) = -11 cdot raiz3 = -1raiz3
Então:

Passo 5

Para achar o ângulo theta = arccos(-1raiz3) , tiramos o arco cosseno de theta approx 125,26^circ :
theta approx 125,26^circ times ( pi180 ) approx 2,186 radianos
Calculando isso com uma calculadora ou tabela de valores trigonométricos, temos:
Mas como a pergunta pede o ângulo em radianos, vamos converter graus para radianos:

Resposta

O ângulo entre os planos mede aproximadamente radianos.

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