Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que tá rolando aqui. A gente quer descobrir o ângulo entre dois planos no espaço tridimensional. O primeiro plano é dado de forma paramétrica: , e o segundo plano é definido pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os vetores normais de cada plano e depois calcular o ângulo entre esses vetores usando um pouco de trigonometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor normal do primeiro plano. Ele está descrito de forma paramétrica, o que significa que temos dois vetores diretores: e . O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores diretores, e podemos encontrá-lo fazendo o produto vetorial desses vetores.
Então, calculando:

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor normal do segundo plano. A equação do plano é , e a forma geral de um plano é , onde é o vetor normal. Então, para este plano:

Passo 4

Com os dois vetores normais em mãos, podemos calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do cosseno:
Primeiro, vamos calcular o produto escalar :
Agora, as normas dos vetores:
Então:

Passo 5

Para achar o ângulo , tiramos o arco cosseno de :
Calculando isso com uma calculadora ou tabela de valores trigonométricos, temos:
Mas como a pergunta pede o ângulo em radianos, vamos converter graus para radianos:

Resposta

O ângulo entre os planos mede aproximadamente radianos.

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Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(iv)
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(i)