Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial R^3.
(i) (1,1,1) ;(1,-1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores (1,1,1) e (1,-1,5) formam uma base para o espaço vetorial R^3. Isso envolve entender o que é uma base e quais são os requisitos para que um conjunto de vetores seja considerado uma base nesse espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

No caso de R^3, que é um espaço tridimensional, uma base precisa ter exatamente três vetores. Isso porque precisamos de três direções independentes para cobrir todo o espaço.

Passo 4

Aqui, nós temos apenas dois vetores: (1,1,1) e (1,-1,5). Mesmo que esses vetores sejam linearmente independentes (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro), eles só conseguem gerar um plano dentro de R^3, não todo o espaço.

Passo 5

Para ilustrar, pense em duas setas no espaço: se elas não estão na mesma linha, juntas formam um plano. Mas para preencher o espaço tridimensional, precisaríamos de uma terceira seta que não esteja nesse plano.

Resposta

Não, os vetores (1,1,1) e (1,-1,5) não formam uma base para o espaço vetorial R^3, pois faltam um terceiro vetor para completar a base necessária.

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