Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores
e
formam uma base para o espaço vetorial
. Isso envolve entender o que é uma base e quais são os requisitos para que um conjunto de vetores seja considerado uma base nesse espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
No caso de
, que é um espaço tridimensional, uma base precisa ter exatamente três vetores. Isso porque precisamos de três direções independentes para cobrir todo o espaço.
Passo 4
Aqui, nós temos apenas dois vetores:
e
. Mesmo que esses vetores sejam linearmente independentes (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro), eles só conseguem gerar um plano dentro de
, não todo o espaço.
Passo 5
Para ilustrar, pense em duas setas no espaço: se elas não estão na mesma linha, juntas formam um plano. Mas para preencher o espaço tridimensional, precisaríamos de uma terceira seta que não esteja nesse plano.
Resposta
Não, os vetores
e
não formam uma base para o espaço vetorial
, pois faltam um terceiro vetor para completar a base necessária.
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(iv)
(iv)
Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos
e
.
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(ii)
(ii)
Mostre que se
é a parametrização de uma reta, onde
é um intervalo. Então
e
são paralelos.