Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se os vetores e formam uma base para o espaço vetorial . Isso envolve entender o que é uma base e quais são os requisitos para que um conjunto de vetores seja considerado uma base nesse espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

No caso de , que é um espaço tridimensional, uma base precisa ter exatamente três vetores. Isso porque precisamos de três direções independentes para cobrir todo o espaço.

Passo 4

Aqui, nós temos apenas dois vetores: e . Mesmo que esses vetores sejam linearmente independentes (ou seja, nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro), eles só conseguem gerar um plano dentro de , não todo o espaço.

Passo 5

Para ilustrar, pense em duas setas no espaço: se elas não estão na mesma linha, juntas formam um plano. Mas para preencher o espaço tridimensional, precisaríamos de uma terceira seta que não esteja nesse plano.

Resposta

Não, os vetores e não formam uma base para o espaço vetorial , pois faltam um terceiro vetor para completar a base necessária.

Exercícios relacionados

Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(iv)
Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos e .
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(ii)
Mostre que se é a parametrização de uma reta, onde é um intervalo. Então e são paralelos.