Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores , e formam uma base do espaço vetorial . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de . O determinante de uma matriz pode ser calculado assim:
Aplicando aos nossos valores:
Passo 4
Como o determinante da matriz é zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Resposta
Os vetores , e não formam uma base do espaço vetorial porque são linearmente dependentes.