Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(iv)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores , e formam uma base do espaço vetorial . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de R^3. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando aos nossos valores:
det(A) = 1(2 times 4 - 5 times 3) - 1(1 times 4 - 2 times 3) + 5(1 times 5 - 2 times 2)
det(A) = 1(8 - 15) - 1(4 - 6) + 5(5 - 4)
det(A) = 1(-7) - 1(-2) + 5(1)
det(A) = -7 + 2 + 5 = 0
Passo 4
Como o determinante da matriz é zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Resposta
Os vetores (1,1,2), (1,2,5) e (5,3,4)não formam uma base do espaço vetorial R^3 porque são linearmente dependentes.