Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(iv)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se os vetores , e formam uma base do espaço vetorial . Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre bases e independência linear. Para isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de . O determinante de uma matriz pode ser calculado assim:
Aplicando aos nossos valores:

Passo 4

Como o determinante da matriz é zero, isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Resposta

Os vetores , e não formam uma base do espaço vetorial porque são linearmente dependentes.

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Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(i)
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(ii)