Determine os extremos das duas cordas focais da elipse
, que são paralelas à reta
. Mostre que os pontos médios dessas cordas e o centro de
estão alinhados.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse definida por
. Precisamos encontrar os extremos das duas cordas focais dessa elipse que são paralelas à reta
. Além disso, devemos mostrar que os pontos médios dessas cordas e o centro da elipse estão alinhados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a elipses e linhas paralelas.
Passo 2
Vamos começar identificando os elementos da elipse. A equação
está na forma padrão
, onde
e
. Então,
e
. O centro da elipse é o ponto
.
Passo 3
Vamos determinar as coordenadas dos focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por
. Como a maior semieixo é no eixo
, os focos estão em
e
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar as cordas focais que são paralelas à reta
. Como a reta tem inclinação
(coeficiente angular de
é
), as cordas também terão essa inclinação. A equação geral de uma linha com inclinação
é
, onde
é a ordenada na origem.
Passo 5
As cordas focais passam pelos focos da elipse. Vamos usar o fator
para encontrar as equações dessas cordas. Para o foco
, substituímos na equação da reta:
.
Então, a primeira corda é .
Então, a primeira corda é
Para o foco
:
.
Então, a segunda corda é .
Então, a segunda corda é
Passo 6
Vamos encontrar os extremos dessas cordas, ou seja, os pontos onde essas retas interceptam a elipse. Substituímos
na equação da elipse:
.
Simplificando:
,
,
,
.
Então,
ou
.
Para
,
.
Para ,
.
Para
Portanto, os extremos da primeira corda são
e
.
De forma semelhante, para a segunda corda
, seguindo o mesmo processo, encontramos os extremos
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos médios dessas cordas. Para a primeira corda entre
e
, o ponto médio
é:
Para a segunda corda entre
e
, o ponto médio
é:
Passo 8
Por fim, vamos mostrar que os pontos médios
,
e o centro da elipse
estão alinhados. Observando as coordenadas:
Centro
Perceba que a reta que passa por
e
tem a mesma inclinação que a reta que passa por
e
. Isso significa que os três pontos estão na mesma linha reta.
Resposta
Os extremos das duas cordas focais da elipse
paralelas à reta
são
,
,
e
. Além disso, os pontos médios dessas cordas
e
, juntamente com o centro da elipse
, estão alinhados em uma mesma reta.
Exercícios relacionados
Resolva o sistema
, sabendo que
Considere as matrizes
e
com respectivas ordens:
e
. Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(a) .
(a)
Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos
e
.
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial
.
(iv)
(iv)