Determine os extremos das duas cordas focais da elipse , que são paralelas à reta . Mostre que os pontos médios dessas cordas e o centro de estão alinhados.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse definida por . Precisamos encontrar os extremos das duas cordas focais dessa elipse que são paralelas à reta . Além disso, devemos mostrar que os pontos médios dessas cordas e o centro da elipse estão alinhados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a elipses e linhas paralelas.

Passo 2

Vamos começar identificando os elementos da elipse. A equação está na forma padrão , onde e . Então, e . O centro da elipse é o ponto .

Passo 3

Vamos determinar as coordenadas dos focos da elipse. A distância dos focos ao centro é dada por . Como a maior semieixo é no eixo , os focos estão em e .

Passo 4

Agora, queremos encontrar as cordas focais que são paralelas à reta . Como a reta tem inclinação (coeficiente angular de é ), as cordas também terão essa inclinação. A equação geral de uma linha com inclinação é , onde é a ordenada na origem.

Passo 5

As cordas focais passam pelos focos da elipse. Vamos usar o fator para encontrar as equações dessas cordas. Para o foco , substituímos na equação da reta:
.
Então, a primeira corda é .
Para o foco :
.
Então, a segunda corda é .

Passo 6

Vamos encontrar os extremos dessas cordas, ou seja, os pontos onde essas retas interceptam a elipse. Substituímos na equação da elipse:
.
Simplificando:
,
,
,
.
Então, ou .
Para , .
Para , .
Portanto, os extremos da primeira corda são e .
De forma semelhante, para a segunda corda , seguindo o mesmo processo, encontramos os extremos e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos médios dessas cordas. Para a primeira corda entre e , o ponto médio é:
.
Para a segunda corda entre e , o ponto médio é:
.

Passo 8

Por fim, vamos mostrar que os pontos médios , e o centro da elipse estão alinhados. Observando as coordenadas:
,
,
Centro .
Perceba que a reta que passa por e tem a mesma inclinação que a reta que passa por e . Isso significa que os três pontos estão na mesma linha reta.

Resposta

Os extremos das duas cordas focais da elipse paralelas à reta são , , e . Além disso, os pontos médios dessas cordas e , juntamente com o centro da elipse , estão alinhados em uma mesma reta.

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Resolva o sistema , sabendo que
Considere as matrizes e com respectivas ordens: e . Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(a) .
Ache a medida em radianos do ângulo entre os planos e .
Determine se os seguintes vetores formam base do espaço vetorial .
(iv)