Ache um membro da família y = c1 e^x + c2 e^-x que seja solução do PVI
a) y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0.
b) y'' - y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma família de funções e queremos encontrar valores específicos de e que satisfaçam uma dada equação diferencial com condições iniciais. Aqui, lidamos com a equação diferencial . Para resolver isso, vamos usar as condições iniciais fornecidas para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é o valor da função quando . Substituindo na nossa função:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de com relação a . A derivada de é e a derivada de é . Então,
Agora, calculamos :

Passo 4

Com as expressões para e em mãos, vamos usar as condições iniciais para montar um sistema de equações.
Para a parte a) do exercício, temos:
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais e é:

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