Ache um membro da família
que seja solução do PVI
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma família de funções
e queremos encontrar valores específicos de
e
que satisfaçam uma dada equação diferencial com condições iniciais. Aqui, lidamos com a equação diferencial
. Para resolver isso, vamos usar as condições iniciais fornecidas para encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é o valor da função
quando
. Substituindo
na nossa função:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
com relação a
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Agora, calculamos
:
Passo 4
Com as expressões para
e
em mãos, vamos usar as condições iniciais para montar um sistema de equações.
Para a parte a) do exercício, temos:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais
e
é: