Calcular as integrais pelo método de integração das funções trigonométricas: integral cos ^3 x cdot sen^4 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral cos^3 x cdot sin^4 x , dx. Nesse exercício, vamos usar métodos de integração de funções trigonométricas. Precisaremos utilizar identidades trigonométricas e substituição para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral envolve potências ímpares de cosseno e seno. Quando uma das funções trigonométricas tem potência ímpar, podemos separar um fator dessa função para fazer a substituição. Aqui, temos cos^3 x, que é ímpar.
Vamos reescrever a integral separando um cos x:
integral cos^3 x cdot sin^4 x , dx = integral cos^2 x cdot cos x cdot sin^4 x , dx

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica cos^2 x = 1 - sin^2 x para substituir cos^2 x na integral:
integral (1 - sin^2 x) cdot cos x cdot sin^4 x , dx

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 - sin^2 x) cdot sin^4 x = sin^4 x - sin^6 x
Portanto, a integral fica:
integral (sin^4 x - sin^6 x) cdot cos x , dx

Passo 5

Agora, fazemos a substituição u = sin x. Assim, a derivada de u em relação a x é du = cos x , dx. Substituindo na integral:
integral (u^4 - u^6) , du

Passo 6

Integramos em relação a u:
integral u^4 , du - integral u^6 , du = u^55 - u^77 + C

Passo 7

Revertendo a substituição u = sin x, temos:
sin^5 x5 - sin^7 x7 + C

Resposta

A integral integral cos^3 x cdot sin^4 x , dx é igual a sin^5 x5 - sin^7 x7 + C, onde C é a constante de integração.

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