Ache
de modo que sejam contínuas as funções:
a)
se
a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. A questão pede para encontrarmos o valor de
que torna a função
contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. A função para
é:
Perceba que se substituirmos
diretamente, o denominador se torna zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador
. Sabemos que
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Assim, temos:
Podemos simplificar cancelando
nos numeradores e denominadores, desde que
:
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 utilizando a forma simplificada:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.
Exercícios relacionados
Seja
, calcule a reta tangente a função
no ponto
.
Calcule os seguintes limites:
c)
c)
Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
c)
c)
Derive as funções abaixo
.