Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
a) f(x) = { a se x = 2, (x^3 - 8)/(x - 2) } se x != 2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de continuidade de funções. A questão pede para encontrarmos o valor de que torna a função contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2. A função para é:
Perceba que se substituirmos diretamente, o denominador se torna zero, o que não é permitido. Então, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador . Sabemos que é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Assim, temos:
Podemos simplificar cancelando nos numeradores e denominadores, desde que :

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite de quando se aproxima de 2 utilizando a forma simplificada:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

Exercícios relacionados

Seja f(x) = [sen(x) + cos(x)]^3, calcule a reta tangente a função f no ponto 0,1.
Calcule os seguintes limites:
c) lim x pi2 x sen xx+1
Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
c) f(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz) ; U = -1/3 * i + 2/3 * j + 2/3 * k ; P0 = (2, 0, -3)
Derive as funções abaixo f(x) = 2 sen(1/2 arcsen(x)) cos(1/2 arcsen(x)).