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de modo que sejam contínuas as funções:
a)
se
b)
a)
b)
Passo 1
Vamos resolver dois exercícios que envolvem a continuidade de funções. A continuidade é um conceito fundamental em cálculo que garante que uma função não tenha “saltos” ou “buracos” em seu gráfico. Para resolver esses problemas, vamos precisar entender como calcular limites e garantir que eles coincidam com o valor da função no ponto específico.
Passo 2
Exercício a):
Temos a função definida da seguinte forma:
Queremos encontrar o valor de
que torna
contínua em
.
Passo 3
Para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em
, ou seja:
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Percebemos que substituindo
diretamente resulta em uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos fatorar o numerador.
Passo 5
O numerador
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Cancelando o termo
no numerador e denominador:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Passo 7
Portanto, para que a função seja contínua em
:
Passo 8
Exercício b):
Temos a função definida da seguinte forma:
Queremos encontrar o valor de
que torna
contínua em
.
Passo 9
Para a continuidade em
, o limite de
quando
se aproxima de 0 deve ser igual a
:
Passo 10
Vamos calcular o limite:
Sabemos que:
Aqui, podemos fazer uma substituição
, então quando
,
.
Passo 11
Aplicando a substituição:
Portanto:
Passo 12
Assim, para que a função seja contínua em
:
Resposta
a)
b)