Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
a) f(x) = { a se x = 2, (x^3 - 8)/(x - 2) } se x != 2
b) f(x) = { sen(x^2) / x^2 se x ≠ 0; a se x = 0 }

Passo 1

Vamos resolver dois exercícios que envolvem a continuidade de funções. A continuidade é um conceito fundamental em cálculo que garante que uma função não tenha “saltos” ou “buracos” em seu gráfico. Para resolver esses problemas, vamos precisar entender como calcular limites e garantir que eles coincidam com o valor da função no ponto específico.

Passo 2

Exercício a):
Temos a função definida da seguinte forma:
Queremos encontrar o valor de que torna contínua em .

Passo 3

Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em , ou seja:

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Percebemos que substituindo diretamente resulta em uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos fatorar o numerador.

Passo 5

O numerador é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Cancelando o termo no numerador e denominador:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Passo 7

Portanto, para que a função seja contínua em :

Passo 8

Exercício b):
Temos a função definida da seguinte forma:
Queremos encontrar o valor de que torna contínua em .

Passo 9

Para a continuidade em , o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a :

Passo 10

Vamos calcular o limite:
Sabemos que:
Aqui, podemos fazer uma substituição , então quando , .

Passo 11

Aplicando a substituição:
Portanto:

Passo 12

Assim, para que a função seja contínua em :

Resposta

a)
b)

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