Prove que
a) A equação x^3 - 1/(1 + x^4) = 0 admite ao menos uma raiz real.
b) Todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar duas coisas:
a) Que a equação tem pelo menos uma raiz real.
b) Que todo polinômio de grau 3 tem pelo menos uma raiz real.
Para isso, vamos usar conceitos de análise matemática, especificamente o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar a existência de raízes.

Passo 2

Parte a): Vamos analisar a função .
Primeiro, entendemos que queremos mostrar que essa função cruza o eixo x em algum ponto real, ou seja, que existe um tal que .

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos encontrar dois valores de , digamos e , onde e tenham sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos um ponto entre e onde .

Passo 4

Vamos calcular em dois pontos:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Observamos que e . Como é negativo e é positivo, o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um valor de entre 0 e 1 onde .

Passo 6

Parte b): Agora, vamos considerar um polinômio geral de grau 3:
onde .
Queremos provar que existe pelo menos um valor real de tal que .

Passo 7

Consideramos o comportamento de quando tende ao infinito positivo e negativo:
  • Quando :
    ou
  • Quando :
    ou

Passo 8

Isso significa que assume valores negativos e positivos conforme varia de menos infinito a mais infinito. Então, novamente pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir algum onde .

Resposta

a) A equação tem pelo menos uma raiz real.
b) Todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.

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