Prove que
a) A equação
admite ao menos uma raiz real.
b) Todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.
a) A equação
b) Todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar duas coisas:
a) Que a equação tem pelo menos uma raiz real.
b) Que todo polinômio de grau 3 tem pelo menos uma raiz real.
Para isso, vamos usar conceitos de análise matemática, especificamente o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar a existência de raízes.
a) Que a equação
b) Que todo polinômio de grau 3 tem pelo menos uma raiz real.
Para isso, vamos usar conceitos de análise matemática, especificamente o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a mostrar a existência de raízes.
Passo 2
Parte a): Vamos analisar a função
.
Primeiro, entendemos que queremos mostrar que essa função cruza o eixo x em algum ponto real, ou seja, que existe um
tal que
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos encontrar dois valores de
, digamos
e
, onde
e
tenham sinais opostos. Isso garante que existe pelo menos um ponto entre
e
onde
.
Passo 4
Vamos calcular
em dois pontos:
-
Para
: -
Para
:
Passo 5
Observamos que
e
. Como
é negativo e
é positivo, o Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe pelo menos um valor de
entre 0 e 1 onde
.
Passo 6
Parte b): Agora, vamos considerar um polinômio geral de grau 3:
onde
.
Queremos provar que existe pelo menos um valor real de
tal que
.
Passo 7
Consideramos o comportamento de
quando
tende ao infinito positivo e negativo:
-
Quando
: ou -
Quando
: ou
Passo 8
Isso significa que
assume valores negativos e positivos conforme
varia de menos infinito a mais infinito. Então, novamente pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir algum
onde
.
Resposta
a) A equação
tem pelo menos uma raiz real.
b) Todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.
b) Todo polinômio de grau 3 admite pelo menos uma raiz real.