Considere a função vetorial
. Encontra a curvature de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta uma função vetorial
para
. Nosso objetivo aqui é encontrar a curvatura dessa trajetória. A curvatura é uma medida de quanto uma curva está “curvando” em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial, usar o produto vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
, que é
. A derivada de cada componente da função vetorial será:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
derivando
novamente:
Calculando cada derivada:
Passo 4
A próxima etapa é calcular o produto vetorial entre
e
, ou seja,
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Simplificando usando a identidade
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial
. A magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso:
Passo 6
Também precisamos da magnitude da primeira derivada
:
Passo 7
Por fim, a curvatura
é dada pela fórmula:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A curvatura de
é: