Considere a função vetorial r(t) = (t^2, sen(t) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)) com t em (0, infinito). Encontra a curvature de r(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos apresenta uma função vetorial para . Nosso objetivo aqui é encontrar a curvatura dessa trajetória. A curvatura é uma medida de quanto uma curva está “curvando” em um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial, usar o produto vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que é . A derivada de cada componente da função vetorial será:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando novamente:
Calculando cada derivada:

Passo 4

A próxima etapa é calcular o produto vetorial entre e , ou seja, . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Simplificando usando a identidade :

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude do produto vetorial . A magnitude de um vetor é:
Aplicando isso:

Passo 6

Também precisamos da magnitude da primeira derivada :

Passo 7

Por fim, a curvatura é dada pela fórmula:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A curvatura de é:

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