Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de R^3 que
(b) equidistam dos planos
pi1: x+y-z=0, pi2: x-y-z-2=0 e pi3: x+y+z=1

Passo 1

Então, galera, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações que descrevem o conjunto de pontos no espaço tridimensional ( pi1: x + y - z = 0, pi2: x - y - z - 2 = 0, e pi3: x + y + z = 1 ) que estão à mesma distância de três planos específicos. Os planos dados são:
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e igualar essas distâncias para encontrar as condições que definem o lugar geométrico desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto d = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 a um plano geral :
Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos três planos.

Passo 3

Calculando a distância do ponto d1 = |x + y - z|raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = |x + y - z|raiz3 ao plano :

Passo 4

Agora, calculando a distância ao plano d2 = |x - y - z - 2|raiz1^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = |x - y - z - 2|raiz3 :

Passo 5

E por fim, a distância ao plano d3 = |x + y + z - 1|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |x + y + z - 1|raiz3 :

Passo 6

Como queremos pontos que estão à mesma distância dos três planos, vamos igualar |x + y - z|raiz3 = |x - y - z - 2|raiz3 , |x + y - z| = |x - y - z - 2| e . Podemos começar igualando e :
Como os denominadores são iguais, podemos simplificar para:

Passo 7

Para resolver essa equação com valor absoluto, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 8

Primeiro caso:
x + y - z = x - y - z - 2
Subtraindo y = -y - 2 de ambos os lados:
2y = -2 implies y = -1
Somando em ambos os lados:

Passo 9

Segundo caso:
x + y - z = -x + y + z + 2
Somando 2x = 2z + 2 implies x = z + 1 e em ambos os lados:

Passo 10

Agora, vamos igualar |x + y - z|raiz3 = |x + y + z - 1|raiz3 e |x + y - z| = |x + y + z - 1| :
Simplificando:

Passo 11

Mais uma vez, duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma.

Passo 12

Primeiro caso:
x + y - z = x + y + z - 1
Subtraindo -z = z - 1 implies -2z = -1 implies z = 12 de ambos os lados:

Passo 13

Segundo caso:
x + y - z = -x - y - z + 1
Somando 2x + 2y = 1 implies x + y = 12 em ambos os lados:

Passo 14

Agora, combinando as condições obtidas:
  • De : ou
  • De : ou
Vamos analisar as interseções dessas condições para encontrar o lugar geométrico.

Passo 15

Caso 1: x - 1 = 12 implies x = 32 e (z + 1) + y = 12 implies y = 12 - z - 1 = -z - 12
Substituindo na equação :
Então, temos o ponto
Caso 2: e
Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá uma relação entre e , e e , formando uma linha no espaço.

Passo 16

Portanto, o lugar geométrico que equidista dos três planos é composto por:
  1. O ponto x = z + 1, y = -z - 12
  2. A reta definida por:

Resposta

O lugar geométrico dos pontos em x = z + 1, y = -z - 12 que equidistam dos planos , e é formado pelo ponto e pela reta definida por:

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