Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de
que
(b) equidistam dos planos
(b) equidistam dos planos
Passo 1
Então, galera, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações que descrevem o conjunto de pontos no espaço tridimensional (
) que estão à mesma distância de três planos específicos. Os planos dados são:
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e igualar essas distâncias para encontrar as condições que definem o lugar geométrico desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto
a um plano geral
:
Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos três planos.
Passo 3
Calculando a distância do ponto
ao plano
:
Passo 4
Agora, calculando a distância ao plano
:
Passo 5
E por fim, a distância ao plano
:
Passo 6
Como queremos pontos que estão à mesma distância dos três planos, vamos igualar
,
e
. Podemos começar igualando
e
:
Como os denominadores são iguais, podemos simplificar para:
Passo 7
Para resolver essa equação com valor absoluto, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 8
Primeiro caso:
Subtraindo
de ambos os lados:
Somando
em ambos os lados:
Passo 9
Segundo caso:
Somando
e
em ambos os lados:
Passo 10
Agora, vamos igualar
e
:
Simplificando:
Passo 11
Mais uma vez, duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma.
Passo 12
Primeiro caso:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 13
Segundo caso:
Somando
em ambos os lados:
Passo 14
Agora, combinando as condições obtidas:
- De
: ou - De
: ou
Vamos analisar as interseções dessas condições para encontrar o lugar geométrico.
Passo 15
Caso 1:
e
Substituindo na equação
:
Então, temos o ponto
Caso 2:
e
Substituindo
na segunda equação:
Isso nos dá uma relação entre
e
, e
e
, formando uma linha no espaço.
Passo 16
Portanto, o lugar geométrico que equidista dos três planos é composto por:
- O ponto
- A reta definida por:
Resposta
O lugar geométrico dos pontos em
que equidistam dos planos
,
e
é formado pelo ponto
e pela reta definida por:
Exercícios relacionados
Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Parabóla
, cujo parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
Considere a reta
e o plano
.
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
Ache números
e
, ambos diferentes de zero, tais que
tenha a primeira coluna nula.