Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de que
(b) equidistam dos planos

Passo 1

Então, galera, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações que descrevem o conjunto de pontos no espaço tridimensional ( ) que estão à mesma distância de três planos específicos. Os planos dados são:
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto a um plano e igualar essas distâncias para encontrar as condições que definem o lugar geométrico desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano geral :
Vamos aplicar essa fórmula para cada um dos três planos.

Passo 3

Calculando a distância do ponto ao plano :

Passo 4

Agora, calculando a distância ao plano :

Passo 5

E por fim, a distância ao plano :

Passo 6

Como queremos pontos que estão à mesma distância dos três planos, vamos igualar , e . Podemos começar igualando e :
Como os denominadores são iguais, podemos simplificar para:

Passo 7

Para resolver essa equação com valor absoluto, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 8

Primeiro caso:
Subtraindo de ambos os lados:
Somando em ambos os lados:

Passo 9

Segundo caso:
Somando e em ambos os lados:

Passo 10

Agora, vamos igualar e :
Simplificando:

Passo 11

Mais uma vez, duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma.

Passo 12

Primeiro caso:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 13

Segundo caso:
Somando em ambos os lados:

Passo 14

Agora, combinando as condições obtidas:
  • De : ou
  • De : ou
Vamos analisar as interseções dessas condições para encontrar o lugar geométrico.

Passo 15

Caso 1: e
Substituindo na equação :
Então, temos o ponto
Caso 2: e
Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá uma relação entre e , e e , formando uma linha no espaço.

Passo 16

Portanto, o lugar geométrico que equidista dos três planos é composto por:
  1. O ponto
  2. A reta definida por:

Resposta

O lugar geométrico dos pontos em que equidistam dos planos , e é formado pelo ponto e pela reta definida por:

Exercícios relacionados

Em cada caso, obtenha uma equação reduzida da: Parabóla , cujo parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
Considere a reta e o plano .
(a) Verifique que a reta é transversal (não paralela) ao plano e determine o ponto onde a reta intercepta o plano.
Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
Ache números e , ambos diferentes de zero, tais que tenha a primeira coluna nula.