Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar graficamente uma superfície no espaço tridimensional
, cuja representação é dada pela função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, entender o que essa função representa e como ela se relaciona com os planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
. Aqui,
e
são as coordenadas no plano, e
define a coordenada vertical. Essa relação entre
,
e
é crucial para entender a forma da superfície.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de forma mais familiar. Elevando ambos os lados de
ao quadrado, temos:
Essa é a equação de uma superfície conhecida na geometria: um cone circular de eixo vertical.
Passo 4
Para ter uma ideia melhor, vamos analisar como essa superfície se comporta nos planos coordenados.
- Interseção com o plano
(quando ):
Substituindo
na equação
, temos
. A única solução é
e
, ou seja, o ponto de origem.
- Interseção com o plano
(quando ):
Substituindo
na equação, fica
. Isso implica
. Como
é sempre não negativo, consideramos apenas
. Então, no plano
, a interseção é duas retas:
e
.
- Interseção com o plano
(quando ):
Substituindo
, temos
, ou seja,
. Assim, no plano
, a interseção também é duas retas:
e
.
Passo 5
Com base nessas interseções, podemos visualizar que a superfície é simétrica em relação aos três planos coordenados e se abre para cima formando um cone com vértice na origem.
Resposta
A superfície representada pela função
é um cone circular de eixo vertical no espaço tridimensional
. As interseções com os planos coordenados mostram que o cone tem seu vértice na origem e se abre igualmente em todas as direções ao redor do eixo
.
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que
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e
, ambos diferentes de zero, tais que
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e
espaços vetoriais.