Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no R^3 cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
(x, y, raizx^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar graficamente uma superfície no espaço tridimensional R^3, cuja representação é dada pela função (x, y, raizx^2+y^2). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, entender o que essa função representa e como ela se relaciona com os planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada: (x, y, raizx^2+y^2). Aqui, x e y são as coordenadas no plano, e z = raizx^2 + y^2 define a coordenada vertical. Essa relação entre z, x e y é crucial para entender a forma da superfície.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de forma mais familiar. Elevando ambos os lados de z = raizx^2 + y^2 ao quadrado, temos:
z^2 = x^2 + y^2
Essa é a equação de uma superfície conhecida na geometria: um cone circular de eixo vertical.

Passo 4

Para ter uma ideia melhor, vamos analisar como essa superfície se comporta nos planos coordenados.
  • Interseção com o plano xy (quando z = 0):
Substituindo z = 0 na equação z^2 = x^2 + y^2, temos 0 = x^2 + y^2. A única solução é x = 0 e y = 0, ou seja, o ponto de origem.
  • Interseção com o plano xz (quando y = 0):
Substituindo y = 0 na equação, fica z^2 = x^2. Isso implica z = pm x. Como z = raizx^2 é sempre não negativo, consideramos apenas z = |x|. Então, no plano xz, a interseção é duas retas: z = x e z = -x.
  • Interseção com o plano yz (quando x = 0):
Substituindo x = 0, temos z^2 = y^2, ou seja, z = |y|. Assim, no plano yz, a interseção também é duas retas: z = y e z = -y.

Passo 5

Com base nessas interseções, podemos visualizar que a superfície é simétrica em relação aos três planos coordenados e se abre para cima formando um cone com vértice na origem.

Resposta

A superfície representada pela função (x, y, raizx^2+y^2) é um cone circular de eixo vertical no espaço tridimensional R^3. As interseções com os planos coordenados mostram que o cone tem seu vértice na origem e se abre igualmente em todas as direções ao redor do eixo z.

Exercícios relacionados