Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar e desenhar graficamente uma superfície no espaço tridimensional , cuja representação é dada pela função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, entender o que essa função representa e como ela se relaciona com os planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada: . Aqui, e são as coordenadas no plano, e define a coordenada vertical. Essa relação entre , e é crucial para entender a forma da superfície.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de forma mais familiar. Elevando ambos os lados de ao quadrado, temos:
Essa é a equação de uma superfície conhecida na geometria: um cone circular de eixo vertical.

Passo 4

Para ter uma ideia melhor, vamos analisar como essa superfície se comporta nos planos coordenados.
  • Interseção com o plano (quando ):
Substituindo na equação , temos . A única solução é e , ou seja, o ponto de origem.
  • Interseção com o plano (quando ):
Substituindo na equação, fica . Isso implica . Como é sempre não negativo, consideramos apenas . Então, no plano , a interseção é duas retas: e .
  • Interseção com o plano (quando ):
Substituindo , temos , ou seja, . Assim, no plano , a interseção também é duas retas: e .

Passo 5

Com base nessas interseções, podemos visualizar que a superfície é simétrica em relação aos três planos coordenados e se abre para cima formando um cone com vértice na origem.

Resposta

A superfície representada pela função é um cone circular de eixo vertical no espaço tridimensional . As interseções com os planos coordenados mostram que o cone tem seu vértice na origem e se abre igualmente em todas as direções ao redor do eixo .

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