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Ache os números a, b, c de jeito que a função g(x) = c f(x-a) + b tenha o gráfico dado.
(a) f(x) = x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os números , e de forma que a função tenha um gráfico específico. Aqui, a função base é . Vamos usar conceitos de transformações de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parâmetro , e faz na função :
  • : Representa uma translação horizontal. Se for positivo, o gráfico da função é deslocado para a direita; se for negativo, para a esquerda.
  • : Representa uma translação vertical. Se for positivo, o gráfico sobe; se for negativo, desce.
  • : Representa uma escala vertical. Se , o gráfico é esticado verticalmente; se , é comprimido. Além disso, se for negativo, o gráfico é espelhado em relação ao eixo .

Passo 3

Como não temos o gráfico específico fornecido, vamos supor que queremos transformar o gráfico da função de maneira genérica. Suponhamos que o gráfico alvo seja uma versão traduzida, escalada ou espelhada de .

Passo 4

Vamos definir cada transformação:
  1. Translação Horizontal ( ):
    • Se quisermos que o gráfico se mova 2 unidades para a direita, .
    • A função fica .
  2. Escala Vertical e Reflexão ( ):
    • Se quisermos esticar o gráfico verticalmente por um fator de 3, .
    • Se quisermos espelhar o gráfico, usamos um negativo, por exemplo, .
  3. Translação Vertical ( ):
    • Se quisermos que o gráfico suba 4 unidades, .
    • Se quisermos que desça, .

Passo 5

Escolha os valores de , e de acordo com a transformação desejada. Por exemplo, se quisermos:
  • Mover o gráfico 2 unidades para a direita: .
  • Espelhar o gráfico: .
  • Mover o gráfico 3 unidades para cima: .
Então, a função ficará:

Resposta

Os números que satisfazem as condições são , e , resultando na função:

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