Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função
é periódica. A matéria envolvida aqui é sobre funções periódicas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como identificar o período dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Basicamente, uma função é periódica se repete seus valores em intervalos regulares. Esse intervalo é chamado de período. Por exemplo, a função seno
é periódica com período
, porque repete seus valores a cada
unidades.
Passo 3
Agora, vamos analisar a parte dentro do expoente da função
, que é
. Sabemos que a função seno tem período
. Mas como o argumento está sendo multiplicado por
, isso afeta o período da função?
Sim! Quando uma função trigonométrica é alterada pelo coeficiente do
, o período muda. A fórmula para encontrar o novo período
é:
onde
é o coeficiente que multiplica o
dentro da função seno. No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular o período da função
:
Então, a função
tem período 4.
Passo 5
Agora, vamos considerar a função completa
. A função exponencial
é contínua e diferenciável para todo
, e se o argumento
é periódico, então
também será periódica com o mesmo período.
Como já vimos que
é periódica com período 4, a função
também será periódica com o mesmo período.
Resposta
A função
é periódica, e um período dela é 4.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
(f)
(f)
Como o gráfico de
está relacionado com o gráfico de
?
Esboçe o gráfico de .
Esboçe o gráfico de
Um rio segue para o norte com uma velocidade de
. Um homem rema um barco, atravessando o rio, sua velocidade relativa à água é de
para leste.
c) Qual o tempo gasto na travessia do rio?
c) Qual o tempo gasto na travessia do rio?
4
Ache os números de jeito que a função
tenha o gráfico dado.
(a)
Ache os números
(a)