Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função é periódica. A matéria envolvida aqui é sobre funções periódicas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser periódica e como identificar o período dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função periódica. Basicamente, uma função é periódica se repete seus valores em intervalos regulares. Esse intervalo é chamado de período. Por exemplo, a função seno é periódica com período , porque repete seus valores a cada unidades.

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte dentro do expoente da função , que é . Sabemos que a função seno tem período . Mas como o argumento está sendo multiplicado por , isso afeta o período da função?
Sim! Quando uma função trigonométrica é alterada pelo coeficiente do , o período muda. A fórmula para encontrar o novo período é:
onde é o coeficiente que multiplica o dentro da função seno. No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o período da função :
Então, a função tem período 4.

Passo 5

Agora, vamos considerar a função completa . A função exponencial é contínua e diferenciável para todo , e se o argumento é periódico, então também será periódica com o mesmo período.
Como já vimos que é periódica com período 4, a função também será periódica com o mesmo período.

Resposta

A função é periódica, e um período dela é 4.

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