Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente de um campo vetorial . Além disso, precisamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional e do divergente, e entender o que significa um campo ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar e no nosso campo:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
(já que não depende de )
(já que não depende de )
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
(já que não depende de )
Passo 6
Somando essas derivadas:
Passo 7
Para verificar se o campo é conservativo, lembramos que um campo vetorial é conservativo se seu rotacional for zero em todo o domínio. Ou seja, .
Vamos ver o que obtivemos para o rotacional:
Esse resultado não é o vetor zero a menos que , e , o que não acontece em geral. Portanto, o campo não é conservativo.