Determine o rotacional e o divergente de
O Campo vetorial é conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente de um campo vetorial . Além disso, precisamos verificar se esse campo é conservativo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional e do divergente, e entender o que significa um campo ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos identificar e no nosso campo:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. (já que não depende de )
  2. (já que não depende de )

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente de . O divergente de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
  1. (já que não depende de )

Passo 6

Somando essas derivadas:

Passo 7

Para verificar se o campo é conservativo, lembramos que um campo vetorial é conservativo se seu rotacional for zero em todo o domínio. Ou seja, .
Vamos ver o que obtivemos para o rotacional:
Esse resultado não é o vetor zero a menos que , e , o que não acontece em geral. Portanto, o campo não é conservativo.

Resposta

ãé

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