ache os números críticos da função:

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa achar os números críticos da função . Falando de matéria, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente os conceitos de derivadas. Para isso, precisamos calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero ou onde não existe, pois esses pontos são os números críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número crítico. Números críticos são os valores de onde a derivada da função é zero ( ) ou onde a derivada não existe. Esses pontos podem indicar, por exemplo, máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função separada em duas partes (uma em cima e outra embaixo).
A regra do quociente diz que:
onde e .

Passo 4

Vamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 7

Portanto, a derivada simplificada fica:

Passo 8

Agora, vamos encontrar onde . Para isso, igualamos o numerador a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -2:

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, temos uma raiz quadrada de número negativo, o que significa que não existem soluções reais para essa equação.

Passo 10

Como não há valores de que tornam a derivada igual a zero, precisamos verificar se a derivada é indefinida em algum ponto do domínio da função. Lembrando que o domínio de é menos e , onde o denominador se anula.

Passo 11

Então, os números críticos são onde a derivada não existe dentro do domínio, ou seja, nos pontos e .

Resposta

Os números críticos da função são e .

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Encontre a terceira derivada de cada função: