Encontre a terceira derivada de cada função: f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função f(x) = x⁵ - 4x⁴ + 2x² e queremos encontrar a sua terceira derivada. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como calcular derivadas de funções polinomiais e aplicar esse processo três vezes seguidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f(x). A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a x. Para funções do tipo polinômio, a regra básica é trazer o expoente para multiplicar o coeficiente e diminuir o expoente em 1.
Então, derivando cada termo de f(x):
  • A derivada de x⁵ é 5x⁴.
  • A derivada de -4x⁴ é -16x³.
  • A derivada de 2x² é 4x.
Assim, a primeira derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada. Isso significa que vamos derivar novamente a função que encontramos no Passo 2.
Derivando cada termo de f’(x):
  • A derivada de 5x⁴ é 20x³.
  • A derivada de -16x³ é -48x².
  • A derivada de 4x é 4.
Então, a segunda derivada é:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a terceira derivada. Mais uma vez, derivamos a função que encontramos no Passo 3.
Derivando cada termo de f’’(x):
  • A derivada de 20x³ é 60x².
  • A derivada de -48x² é -96x.
  • A derivada de 4 é 0 (pois a derivada de uma constante é zero).
Então, a terceira derivada fica:

Resposta

A terceira derivada de é:

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