Ache partial^3 fpartial x^2 partial y(x, y) se f(x, y)=ln (x+y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função e precisamos encontrar a terceira derivada parcial de em relação a duas vezes e a uma vez, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia aplicadas a funções de várias variáveis.

Passo 2

Começamos encontrando a primeira derivada parcial de partial fpartial x = 1x + y cdot partialpartial x(x + y) = 1x + y cdot 1 = 1x + y em relação a . A função é uma função composta, então aplicamos a derivada da função logaritmo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( 1x + y ) = -1(x + y)^2 em relação a . Ou seja, derivar novamente em relação a :

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar a segunda derivada parcial em relação a partial^3 fpartial x^2 partial y = partialpartial y ( -1(x + y)^2 ) = - cdot partialpartial y ( 1(x + y)^2 ) para obter a terceira derivada parcial:
partialpartial y ( 1(x + y)^2 ) = -2(x + y)^3
Aplicando a derivada:
partial^3 fpartial x^2 partial y = - ( -2(x + y)^3 ) = 2(x + y)^3
Portanto:

Resposta

A terceira derivada parcial de partial^3 fpartial x^2 partial y(x, y) = 2(x + y)^3 em relação a duas vezes e a uma vez é:

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