Calcule e quando:
a)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a (ou seja, ) e em relação a (ou seja, ). Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . A função é o produto de e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.

Passo 3

Aplicando a regra do produto, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
    Aqui, tratamos como uma constante, então a derivada fica:
  2. Derivada de em relação a :
    Também aqui, é uma constante, então usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, usamos a regra do produto:

Passo 7

Derivando cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
    Aqui, tratamos como uma constante:
  2. Derivada de em relação a :
    Usamos a regra da cadeia novamente:

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto :
a) ;
Determine o valor dos limites, quando existirem:
e) ;
Ache se .
Seja .
(a) Estime .