Calcule
e
quando:
a)
a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
(ou seja,
) e em relação a
(ou seja,
). Para resolver isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. A função
é o produto de
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
Passo 3
Aplicando a regra do produto, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Aqui, tratamoscomo uma constante, então a derivada fica: -
Derivada de
em relação a : Também aqui,é uma constante, então usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, usamos a regra do produto:
Passo 7
Derivando cada parte:
-
Derivada de
em relação a : Aqui, tratamoscomo uma constante: -
Derivada de
em relação a : Usamos a regra da cadeia novamente:
Passo 8
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
a) ;
a)
Determine o valor dos limites, quando existirem:
e) ;
e)
Ache
se
.
Seja
.
(a) Estime .
(a) Estime