Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
a)
;
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis, e para isso vamos precisar analisar o limite da função quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua no ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
. A definição da função nos diz que quando
, a função vale zero. No ponto
, temos
, então:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Então, vamos analisar o limite:
Passo 5
Para avaliar esse limite, podemos abordar diferentes caminhos que
pode seguir para chegar a
. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Se obtermos limites diferentes por caminhos diferentes, o limite não existe.
Vamos tentar alguns caminhos simples:
a) Caminho
:
Substituindo
na função:
Então,
b) Caminho
:
Substituindo
na função (lembrando que
quando
):
Então,
Passo 6
Observamos que os limites por esses dois caminhos diferentes são distintos:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é .
Como esses limites não são iguais, concluímos que o limite geral
não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine o valor dos limites, quando existirem:
e) ;
e)
Seja a função
. Prove que a função tem limite igual a 1 nos pontos
com
e que tem limite igual a -1 nos pontos
. Prove ainda que não tem limite nos pontos
.
Calcule
e
quando:
a)
a)
Ache
se
.