Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto :
a) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis, e para isso vamos precisar analisar o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua no ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto . A definição da função nos diz que quando , a função vale zero. No ponto , temos , então:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . A função é dada por:
Então, vamos analisar o limite:

Passo 5

Para avaliar esse limite, podemos abordar diferentes caminhos que pode seguir para chegar a . Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Se obtermos limites diferentes por caminhos diferentes, o limite não existe.
Vamos tentar alguns caminhos simples:
a) Caminho :
Substituindo na função:
Então,
b) Caminho :
Substituindo na função (lembrando que quando ):
Então,

Passo 6

Observamos que os limites por esses dois caminhos diferentes são distintos:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é .
Como esses limites não são iguais, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Determine o valor dos limites, quando existirem:
e) ;
Seja a função . Prove que a função tem limite igual a 1 nos pontos com e que tem limite igual a -1 nos pontos . Prove ainda que não tem limite nos pontos .
Calcule e quando:
a)
Ache se .