Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde essa série converge.
Passo 2
O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Agora, calculamos a razão entre e :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse valor quando tende ao infinito:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Passo 5
Resolvendo essa desigualdade:
Isso significa que o raio de convergência é 3. O intervalo de convergência é então .
Resposta
O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é .