Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sum x^nn 3^n

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sum x^nn 3^n
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde essa série converge.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: a gente calcula o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = x^nn 3^n
Agora, calculamos a razão entre | an+1an | = | x^n+1(n+1) 3^n+1x^nn 3^n | = | x^n+1 cdot n cdot 3^n(n+1) cdot 3^n+1 cdot x^n | e | x cdot n3(n+1) | = | x3 cdot nn+1 | :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando limn to infty | x3 cdot nn+1 | = | x3 | cdot limn to infty nn+1 = | x3 | cdot 1 = | x3 | tende ao infinito:
| x3 | < 1
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:

Passo 5

Resolvendo essa desigualdade:
| x | < 3
Isso significa que o raio de convergência é 3. O intervalo de convergência é então .

Resposta

O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é .

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