Ache o plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, temos que encontrar o plano que toca a superfície
no ponto específico
. Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente, as derivadas parciais e o conceito de gradiente, para achar esse plano tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a
,
e
. A função é
.
A derivada parcial em relação a
é:
Em relação a
:
E em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Com essas derivadas avaliadas, o vetor gradiente no ponto
é
. Esse vetor é normal ao plano tangente.
A equação geral do plano tangente é dada por:
Onde
é o ponto de tangência.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é:
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Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
10.
10.
Seja
um campo vetorial dado por
. Prove que se
é um campo gradiente, então,
. É verdade a recíproca?
Sejam
e
dadas por
e
,
, . Calcule
.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
19. em torno de
19.