Ache o plano tangente à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, temos que encontrar o plano que toca a superfície no ponto específico . Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente, as derivadas parciais e o conceito de gradiente, para achar esse plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a , e . A função é .
A derivada parcial em relação a é:
Em relação a :
E em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado .
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Com essas derivadas avaliadas, o vetor gradiente no ponto é . Esse vetor é normal ao plano tangente.
A equação geral do plano tangente é dada por:
Onde é o ponto de tangência.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é:

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Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo .
10.
Seja um campo vetorial dado por . Prove que se é um campo gradiente, então, . É verdade a recíproca?
Sejam e dadas por e , , . Calcule .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
19. em torno de