Ache o plano tangente à superfície x^2 + 2y^2 + 3xz = 10 no ponto 1,2,1/3.

Passo 1

Beleza, temos que encontrar o plano que toca a superfície no ponto específico . Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente, as derivadas parciais e o conceito de gradiente, para achar esse plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a x, y e z. A função é .
A derivada parcial em relação a x é:
Em relação a y:
E em relação a z:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado .
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Com essas derivadas avaliadas, o vetor gradiente no ponto é . Esse vetor é normal ao plano tangente.
A equação geral do plano tangente é dada por:
Onde é o ponto de tangência.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar isso:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é:

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