Seja F: R^2 R^2 um campo vetorial dado por F(x, y)=(f1(x, y), f2(x, y)). Prove que se F é um campo gradiente, então, partial f1 / partial y=partial f2 / partial x. É verdade a recíproca?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial dado por . Nosso objetivo é provar que se é um campo gradiente, então . Além disso, queremos saber se a recíproca disso também é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e usar conceitos de derivadas parciais e condições de compatibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser um campo gradiente. Um campo vetorial F(x, y) = nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y ) é dito ser um campo gradiente se existe uma função potencial tal que:
Isso significa que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas. Se partial f1partial y = partialpartial y ( partial phipartial x ) = partial^2 phipartial y partial x é um campo gradiente, então:
partial f2partial x = partialpartial x ( partial phipartial y ) = partial^2 phipartial x partial y
E

Passo 4

Pela igualdade das derivadas parciais mistas (condição de Schwarz), sabemos que se partial^2 phipartial y partial x = partial^2 phipartial x partial y tem derivadas contínuas, então:
partial f1partial y = partial f2partial x
Portanto, temos que:
Isso prova a primeira parte: se é um campo gradiente, então .

Passo 5

Agora, vamos discutir a recíproca: se , será que é necessariamente um campo gradiente? A resposta é não sempre. Para que seja um campo gradiente, além dessa condição, o campo deve ser conservativo, o que implica que o domínio deve ser simplesmente conexo (sem “buracos”) e as derivadas parciais devem ser contínuas. Se essas condições não forem satisfeitas, a igualdade das derivadas não garante que seja um campo gradiente.

Resposta

Portanto, se é um campo gradiente, então . No entanto, a recíproca não é sempre verdadeira, a menos que outras condições, como a simples conexidade do domínio e a continuidade das derivadas parciais, sejam satisfeitas.

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