Seja
um campo vetorial dado por
. Prove que se
é um campo gradiente, então,
. É verdade a recíproca?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial
dado por
. Nosso objetivo é provar que se
é um campo gradiente, então
. Além disso, queremos saber se a recíproca disso também é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e usar conceitos de derivadas parciais e condições de compatibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser um campo gradiente. Um campo vetorial
é dito ser um campo gradiente se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas. Se
é um campo gradiente, então:
E
Passo 4
Pela igualdade das derivadas parciais mistas (condição de Schwarz), sabemos que se
tem derivadas contínuas, então:
Portanto, temos que:
Isso prova a primeira parte: se
é um campo gradiente, então
.
Passo 5
Agora, vamos discutir a recíproca: se
, será que
é necessariamente um campo gradiente? A resposta é não sempre. Para que
seja um campo gradiente, além dessa condição, o campo deve ser conservativo, o que implica que o domínio deve ser simplesmente conexo (sem “buracos”) e as derivadas parciais devem ser contínuas. Se essas condições não forem satisfeitas, a igualdade das derivadas não garante que
seja um campo gradiente.
Resposta
Portanto, se
é um campo gradiente, então
. No entanto, a recíproca não é sempre verdadeira, a menos que outras condições, como a simples conexidade do domínio e a continuidade das derivadas parciais, sejam satisfeitas.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.
Avalie as integrais abaixo:
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
10.
10.
Ache o plano tangente à superfície
no ponto
.