Seja um campo vetorial dado por . Prove que se é um campo gradiente, então, . É verdade a recíproca?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial dado por . Nosso objetivo é provar que se é um campo gradiente, então . Além disso, queremos saber se a recíproca disso também é verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo gradiente e usar conceitos de derivadas parciais e condições de compatibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser um campo gradiente. Um campo vetorial é dito ser um campo gradiente se existe uma função potencial tal que:
Isso significa que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas cruzadas. Se é um campo gradiente, então:
E

Passo 4

Pela igualdade das derivadas parciais mistas (condição de Schwarz), sabemos que se tem derivadas contínuas, então:
Portanto, temos que:
Isso prova a primeira parte: se é um campo gradiente, então .

Passo 5

Agora, vamos discutir a recíproca: se , será que é necessariamente um campo gradiente? A resposta é não sempre. Para que seja um campo gradiente, além dessa condição, o campo deve ser conservativo, o que implica que o domínio deve ser simplesmente conexo (sem “buracos”) e as derivadas parciais devem ser contínuas. Se essas condições não forem satisfeitas, a igualdade das derivadas não garante que seja um campo gradiente.

Resposta

Portanto, se é um campo gradiente, então . No entanto, a recíproca não é sempre verdadeira, a menos que outras condições, como a simples conexidade do domínio e a continuidade das derivadas parciais, sejam satisfeitas.

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10.
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