Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo .
10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. A curva é uma parábola que abre para a direita, é o eixo , e é uma linha horizontal. Vamos desenhar essas curvas no plano cartesiano para visualizar a área que está sendo girada ao redor do eixo .

Passo 3

Com o desenho em mente, percebemos que estamos girando uma região verticalmente delimitada entre e . Nesse caso, como estamos girando em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é apropriado porque lida bem com rotações em torno de um eixo vertical ou horizontal.

Passo 4

O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume pode ser calculado usando a fórmula:
onde:
  • é a distância do elemento da casca ao eixo de rotação,
  • é a altura da casca,
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Vamos identificar , a altura da casca. A altura é a diferença entre as funções que delimitam a região. Aqui, temos (rearranjando ) e . Então, a altura é .

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região vai de até . Portanto, e .

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume, temos:

Passo 8

Vamos calcular a integral:

Passo 9

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada em torno do eixo é .

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