Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
10.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido formado ao girar uma região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. A curva
é uma parábola que abre para a direita,
é o eixo
, e
é uma linha horizontal. Vamos desenhar essas curvas no plano cartesiano para visualizar a área que está sendo girada ao redor do eixo
.
Passo 3
Com o desenho em mente, percebemos que estamos girando uma região verticalmente delimitada entre
e
. Nesse caso, como estamos girando em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é apropriado porque lida bem com rotações em torno de um eixo vertical ou horizontal.
Passo 4
O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume
pode ser calculado usando a fórmula:
onde:
-
é a distância do elemento da casca ao eixo de rotação, -
é a altura da casca, -
e são os limites de integração.
Passo 5
Vamos identificar
, a altura da casca. A altura é a diferença entre as funções que delimitam a região. Aqui, temos
(rearranjando
) e
. Então, a altura é
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região vai de
até
. Portanto,
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Passo 9
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região delimitada em torno do eixo
é
.
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial dado por
. Prove que se
é um campo gradiente, então,
. É verdade a recíproca?
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.
Ache o plano tangente à superfície
no ponto
.
Sejam
e
dadas por
e
,
, . Calcule
.