Sejam f: R^3 -> R e g: R -> R^3 dadas por f(x, y, z) = xz + yz + xy e g(t) = e^t, cos(t), . Calcule sen(t).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas funções aqui: que vai de para e é dada por . A outra função é que vai de para e é definida por . A nossa missão é calcular a derivada da composição dessas funções, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o Regra da Cadeia para funções compostas e entender um pouco sobre derivadas de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a composição de funções. A composição significa que a gente aplica primeiro e depois aplica no resultado de . Ou seja, .

Passo 3

Para encontrar a derivada dessa composição, usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A regra nos diz que:
Aqui, é o gradiente de e é a derivada de em relação a . O ponto é que o gradiente de nos dá as taxas de variação de em cada direção, e o ponto produto com nos dá a taxa de variação total da composição.

Passo 4

Vamos calcular primeiro o gradiente de . O gradiente de uma função é dado por:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar e sua derivada . A função é:
Derivando cada componente em relação a :

Passo 6

Vamos agora calcular e :

Passo 7

Com esses valores, encontramos . Substituindo , e na expressão do gradiente:

Passo 8

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia:
Fazendo o produto escalar:

Passo 9

Vamos simplificar essa expressão:
Observamos que e se cancelam:

Passo 10

Reconhecendo que , podemos escrever:

Resposta

Portanto, a derivada da composição é:

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