Sejam
e
dadas por
e
,
, . Calcule
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas funções aqui:
que vai de
para
e é dada por
. A outra função é
que vai de
para
e é definida por . A nossa missão é calcular a derivada da composição dessas funções, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o Regra da Cadeia para funções compostas e entender um pouco sobre derivadas de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a composição de funções. A composição
significa que a gente aplica
primeiro e depois aplica
no resultado de
. Ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar a derivada dessa composição, usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. A regra nos diz que:
Aqui,
é o gradiente de
e
é a derivada de
em relação a
. O ponto é que o gradiente de
nos dá as taxas de variação de
em cada direção, e o ponto produto com
nos dá a taxa de variação total da composição.
Passo 4
Vamos calcular primeiro o gradiente de
. O gradiente de uma função
é dado por:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
e sua derivada
. A função
é:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 6
Vamos agora calcular
e
:
Passo 7
Com esses valores, encontramos
. Substituindo
,
e na expressão do gradiente:
Passo 8
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia:
Fazendo o produto escalar:
Passo 9
Vamos simplificar essa expressão:
Observamos que e se cancelam:
Passo 10
Reconhecendo que , podemos escrever:
Resposta
Portanto, a derivada da composição
é:
Exercícios relacionados
Ache o plano tangente à superfície
no ponto
.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
10.
10.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
19. em torno de
19.
Seja
e
uma superfície de nível de
. Prove que se (
) é um ponto de
, então, o vetor
é perpendicular a
, isto é, é perpendicular ao plano tangente a
nesse ponto.