Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
19. em torno de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método das cascas cilíndricas. A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos a curva , que é uma função crescente, a linha (o eixo ) e a reta vertical . Essa área fica entre essas curvas.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , que é paralelo ao eixo , o método das cascas cilíndricas é adequado. Esse método envolve integrar ao longo do eixo de rotação, no nosso caso, o eixo .

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é dada por:
Onde:
  • é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação.
  • é a altura da casca.

Passo 5

Vamos identificar e para o nosso problema.
  • A distância do eixo de rotação até um ponto é .
  • A altura da casca é a diferença entre a função superior e inferior. Aqui, a função inferior é , então .

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Aqui, os limites de integração vão de a , que são os limites da região que estamos girando.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, calculamos a integral:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Multiplicamos o resultado da integral por :

Resposta

O volume gerado pela rotação da região dada em torno do eixo é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Sejam e dadas por e , , . Calcule .
Ache o plano tangente à superfície no ponto .
Seja e uma superfície de nível de . Prove que se ( ) é um ponto de , então, o vetor é perpendicular a , isto é, é perpendicular ao plano tangente a nesse ponto.
Questão 3. Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a .

  • b .
    e .
    c .
    f .