Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
19.
em torno de
19.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método das cascas cilíndricas. A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos a curva
, que é uma função crescente, a linha
(o eixo
) e a reta vertical
. Essa área fica entre essas curvas.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, que é paralelo ao eixo
, o método das cascas cilíndricas é adequado. Esse método envolve integrar ao longo do eixo de rotação, no nosso caso, o eixo
.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume
é dada por:
Onde:
-
é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação. -
é a altura da casca.
Passo 5
Vamos identificar
e
para o nosso problema.
- A distância
do eixo de rotação até um ponto é . - A altura
da casca é a diferença entre a função superior e inferior. Aqui, a função inferior é , então .
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Aqui, os limites de integração vão de
a
, que são os limites da região que estamos girando.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, calculamos a integral:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 9
Multiplicamos o resultado da integral por
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região dada em torno do eixo
é
unidades cúbicas.