Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar três coisas para a matriz dada:
- Polinômio característico: É um polinômio que ajuda a encontrar os autovalores da matriz.
- Autovalores: São os valores que satisfazem o polinômio característico.
- Autovetores: São os vetores associados a cada autovalor.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de matrizes e determinantes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico. Ele é dado por:
Onde:
-
representa o determinante. -
são os autovalores que queremos encontrar. -
é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante de
:
Vamos simplificar isso:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico igual a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Assim, temos dois autovalores:
Passo 6
Com os autovalores encontrados, vamos agora achar os autovetores correspondentes a cada
.
Primeiro, para
:
Resolvemos a equação
:
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos
. Então, podemos escolher
, logo
.
Portanto, um autovetor para
é:
Passo 7
Agora, para
:
Resolvemos a equação
:
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, novamente temos
. Podemos escolher
, logo
.
Portanto, um autovetor para
é:
Resposta
O polinômio característico da matriz é
. Os autovalores são
e
. Os autovetores correspondentes são: