Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar três coisas para a matriz dada:
  1. Polinômio característico: É um polinômio que ajuda a encontrar os autovalores da matriz.
  2. Autovalores: São os valores que satisfazem o polinômio característico.
  3. Autovetores: São os vetores associados a cada autovalor.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de matrizes e determinantes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico. Ele é dado por:
Onde:
  • representa o determinante.
  • são os autovalores que queremos encontrar.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de :
Vamos simplificar isso:
Então, o polinômio característico é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico igual a zero:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Assim, temos dois autovalores:

Passo 6

Com os autovalores encontrados, vamos agora achar os autovetores correspondentes a cada .
Primeiro, para :
Resolvemos a equação :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos . Então, podemos escolher , logo .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 7

Agora, para :
Resolvemos a equação :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, novamente temos . Podemos escolher , logo .
Portanto, um autovetor para é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é . Os autovalores são e . Os autovetores correspondentes são:

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