Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(b) [rr1 & -1 2 & 4]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar três coisas para a matriz dada:
  1. Polinômio característico: É um polinômio que ajuda a encontrar os autovalores da matriz.
  2. Autovalores: São os valores que satisfazem o polinômio característico.
  3. Autovetores: São os vetores associados a cada autovalor.
Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de matrizes e determinantes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que nos foi dada:
A = 1 & -1 2 & 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico. Ele é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde:
  • A - lambda I = 1 - lambda & -1 2 & 4 - lambda representa o determinante.
  • são os autovalores que queremos encontrar.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2) :
(1 - lambda)(4 - lambda) + 2 = (1 cdot 4) - (1 cdot lambda) - (4 cdot lambda) + (lambda cdot lambda) + 2
Vamos simplificar isso:
= 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 + 2
= lambda^2 - 5lambda + 6
lambda^2 - 5lambda + 6
Então, o polinômio característico é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico igual a zero:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
(lambda - 2)(lambda - 3) = 0
Assim, temos dois autovalores:
lambda1 = 2 e lambda2 = 3

Passo 6

Com os autovalores encontrados, vamos agora achar os autovetores correspondentes a cada A - 2I = 1 - 2 & -1 2 & 4 - 2 = -1 & -1 2 & 2 .
Primeiro, para -1x - y = 0 2x + 2y = 0 :
Resolvemos a equação v1 = -1 1 :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, temos . Então, podemos escolher , logo .
Portanto, um autovetor para é:

Passo 7

Agora, para A - 3I = 1 - 3 & -1 2 & 4 - 3 = -2 & -1 2 & 1 :
Resolvemos a equação -2x - y = 0 2x + y = 0 :
v2 = -1 2
Isso nos dá o sistema:
Simplificando, novamente temos . Podemos escolher , logo .
Portanto, um autovetor para é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é v1 = -1 1 , v2 = -1 2 . Os autovalores são e . Os autovetores correspondentes são:

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