Determine as equações das esferas de raio raiz17, com centro pertencente ao plano pi: 2 x+y+z=3, que contém os pontos A=(2,3,1) e B=(4,1,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as equações de esferas que têm raio igual a √17, com o centro localizado no plano 2x + y + z = 3. Essas esferas também devem passar pelos pontos A = (2, 3, 1) e B = (4, 1, 3). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância no espaço, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera no espaço. A equação geral é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Aqui, 2h + k + l = 3 são as coordenadas do centro da esfera e é o raio. No nosso caso, sabemos que , então .
Além disso, sabemos que o centro está no plano , ou seja:

Passo 3

Como os pontos A e B estão na esfera, a distância de A ao centro e de B ao centro deve ser igual ao raio (h - 2)^2 + (k - 3)^2 + (l - 1)^2 = 17. Vamos escrever essas duas equações usando a fórmula da distância.
Para o ponto A = (2, 3, 1):
(h - 4)^2 + (k - 1)^2 + (l - 3)^2 = 17
Para o ponto B = (4, 1, 3):

Passo 4

Agora temos três equações:
  1. (h^2 - 4h + 4) + (k^2 - 6k + 9) + (l^2 - 2l + 1) = 17 (centro no plano)
  2. h^2 + k^2 + l^2 - 4h - 6k - 2l + 14 = 17 (ponto A na esfera)
  3. h^2 + k^2 + l^2 - 4h - 6k - 2l = 3 (Equação 2 simplificada) (ponto B na esfera)
Vamos expandir as equações 2 e 3 para simplificá-las.
Expansão da equação 2:
(h^2 - 8h + 16) + (k^2 - 2k + 1) + (l^2 - 6l + 9) = 17
h^2 + k^2 + l^2 - 8h - 2k - 6l + 26 = 17
h^2 + k^2 + l^2 - 8h - 2k - 6l = -9 (Equação 3 simplificada)çã
Expansão da equação 3:
çã

Passo 5

Agora, vamos subtrair a equação 2 simplificada da equação 3 simplificada para eliminar (h^2 + k^2 + l^2 - 8h - 2k - 6l) - (h^2 + k^2 + l^2 - 4h - 6k - 2l) = -9 - 3 :
-8h - 2k - 6l + 4h + 6k + 2l = -12
Simplificando:
-4h + 4k - 4l = -12
h - k + l = 3 (Equação 4)
Podemos dividir todos os termos por -4 para simplificar:
çã

Passo 6

Agora, temos duas equações lineares com três variáveis:
  1. (2h + k + l) - (h - k + l) = 3 - 3 (Equação do plano)
  2. h + 2k = 0 (Equação 4)
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre h = -2k (Equação 5) , e .
Subtraindo a equação 2 da equação 1:
çã

Passo 7

Agora, substituímos -2k - k + l = 3 na equação 4:
-3k + l = 3
l = 3 + 3k (Equação 6)
çã

Passo 8

Agora temos h = -2k e l = 3 + 3k em termos de h^2 + k^2 + l^2 - 4h - 6k - 2l = 3 :
(-2k)^2 + k^2 + (3 + 3k)^2 - 4(-2k) - 6k - 2(3 + 3k) = 3
4k^2 + k^2 + (9 + 18k + 9k^2) + 8k - 6k - 6 - 6k = 3
Vamos substituir esses valores na equação 2 simplificada para encontrar 4k^2 + k^2 + 9 + 18k + 9k^2 + 8k - 6k - 6 - 6k = 3 .
Equação 2 simplificada:
14k^2 + 14k + 3 = 3
Substituindo:
14k^2 + 14k = 0
14k(k + 1) = 0
Então, ou .

Passo 9

Vamos encontrar h = -2(0) = 0 e l = 3 + 3(0) = 3 para cada valor de h = -2(-1) = 2 .
Caso 1: l = 3 + 3(-1) = 0
Centro:
Caso 2:
Centro:

Passo 10

Agora, temos os dois possíveis centros para as esferas:
  1. (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 3)^2 = 17
  2. x^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 17
Usando a equação geral da esfera, substituímos cada centro e o raio (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 0)^2 = 17 :
Esfera 1:
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 17
Esfera 2:

Resposta

As equações das esferas são:

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