Determine as equações das esferas de raio , com centro pertencente ao plano , que contém os pontos e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as equações de esferas que têm raio igual a √17, com o centro localizado no plano 2x + y + z = 3. Essas esferas também devem passar pelos pontos A = (2, 3, 1) e B = (4, 1, 3). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância no espaço, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera no espaço. A equação geral é:
Aqui, são as coordenadas do centro da esfera e é o raio. No nosso caso, sabemos que , então .
Além disso, sabemos que o centro está no plano , ou seja:

Passo 3

Como os pontos A e B estão na esfera, a distância de A ao centro e de B ao centro deve ser igual ao raio . Vamos escrever essas duas equações usando a fórmula da distância.
Para o ponto A = (2, 3, 1):
Para o ponto B = (4, 1, 3):

Passo 4

Agora temos três equações:
  1. (centro no plano)
  2. (ponto A na esfera)
  3. (ponto B na esfera)
Vamos expandir as equações 2 e 3 para simplificá-las.
Expansão da equação 2:
çã
Expansão da equação 3:
çã

Passo 5

Agora, vamos subtrair a equação 2 simplificada da equação 3 simplificada para eliminar :
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por -4 para simplificar:
çã

Passo 6

Agora, temos duas equações lineares com três variáveis:
  1. (Equação do plano)
  2. (Equação 4)
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre , e .
Subtraindo a equação 2 da equação 1:
çã

Passo 7

Agora, substituímos na equação 4:
çã

Passo 8

Agora temos e em termos de :
Vamos substituir esses valores na equação 2 simplificada para encontrar .
Equação 2 simplificada:
Substituindo:
Então, ou .

Passo 9

Vamos encontrar e para cada valor de .
Caso 1:
Centro:
Caso 2:
Centro:

Passo 10

Agora, temos os dois possíveis centros para as esferas:
Usando a equação geral da esfera, substituímos cada centro e o raio :
Esfera 1:
Esfera 2:

Resposta

As equações das esferas são:

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