Determine as equações das esferas de raio
, com centro pertencente ao plano
, que contém os pontos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as equações de esferas que têm raio igual a √17, com o centro localizado no plano 2x + y + z = 3. Essas esferas também devem passar pelos pontos A = (2, 3, 1) e B = (4, 1, 3). Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente a fórmula da distância no espaço, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma esfera no espaço. A equação geral é:
Aqui,
são as coordenadas do centro da esfera e
é o raio. No nosso caso, sabemos que
, então
.
Além disso, sabemos que o centro
está no plano
, ou seja:
Passo 3
Como os pontos A e B estão na esfera, a distância de A ao centro e de B ao centro deve ser igual ao raio
. Vamos escrever essas duas equações usando a fórmula da distância.
Para o ponto A = (2, 3, 1):
Para o ponto B = (4, 1, 3):
Passo 4
Agora temos três equações:
-
(centro no plano) -
(ponto A na esfera) -
(ponto B na esfera)
Vamos expandir as equações 2 e 3 para simplificá-las.
Expansão da equação 2:
Expansão da equação 3:
Passo 5
Agora, vamos subtrair a equação 2 simplificada da equação 3 simplificada para eliminar
:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por -4 para simplificar:
Passo 6
Agora, temos duas equações lineares com três variáveis:
-
(Equação do plano) -
(Equação 4)
Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre
,
e
.
Subtraindo a equação 2 da equação 1:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação 4:
Passo 8
Agora temos
e
em termos de
:
Vamos substituir esses valores na equação 2 simplificada para encontrar
.
Equação 2 simplificada:
Substituindo:
Então,
ou
.
Passo 9
Vamos encontrar
e
para cada valor de
.
Caso 1:
Centro:
Caso 2:
Centro:
Passo 10
Agora, temos os dois possíveis centros para as esferas:
Usando a equação geral da esfera, substituímos cada centro e o raio
:
Esfera 1:
Esfera 2:
Resposta
As equações das esferas são:
Exercícios relacionados
Dado o ponto
e o vetor
, pede-se: Encontrar os dois pontos
e
de
de parâmetros
e
, respectivamente;
Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações das cônicas a seguir a sua forma mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(b) .
(b)
Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(b)
(b)
Dado o ponto
e o vetor
, pede-se: Escrever equações paramétricas da reta
que passa por
e é paralela a
;