Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
© [lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores dessa matriz:
0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e espaços vetoriais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. Isso se faz calculando o determinante de -lambda & 1 & 2 0 & -lambda & 3 0 & 0 & -lambda , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.
A matriz fica assim:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Como ela é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:
det(A - lambda I) = (-lambda) times (-lambda) times (-lambda) = -lambda^3
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação -lambda^3 = 0 implies lambda^3 = 0 implies lambda = 0 :
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 3.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 . Precisamos resolver 0x + y + 2z = 0 0x + 0y + 3z = 0 0x + 0y + 0z = 0 .
A matriz é:
E a equação se traduz no sistema:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: v = x 0 0 = x 1 0 0
  2. Da primeira equação:
  3. A terceira equação não nos dá informação adicional.
Então, temos e . Isso significa que pode ser qualquer número real. Portanto, o autovetor geral é:

Resposta

  • Polinômio característico: 1 0 0
  • Autovalores: (com multiplicidade 3)
  • Autovetores: Todos os vetores da forma multiplicados por qualquer escalar .

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