Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores dessa matriz:
0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e espaços vetoriais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. Isso se faz calculando o determinante de -lambda & 1 & 2 0 & -lambda & 3 0 & 0 & -lambda , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.
A matriz fica assim:
Passo 3
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Como ela é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:
det(A - lambda I) = (-lambda) times (-lambda) times (-lambda) = -lambda^3
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação -lambda^3 = 0 implies lambda^3 = 0 implies lambda = 0 :
Então, o único autovalor é , com multiplicidade 3.