Seja , calcule . Generalize para matrizes .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de tamanho e precisa calcular e . Depois, vamos generalizar para matrizes . A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente potências de matrizes. Vamos precisar saber como multiplicar matrizes para conseguir esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Para multiplicar por (ou seja, calcular ), a gente pega cada linha de e multiplica pelos elementos das colunas de , somando os produtos. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Vamos escrever a matriz novamente para facilitar:
Agora, vamos calcular .

Passo 4

Multiplicando a primeira linha de pela primeira coluna de :
Primeiro elemento da primeira linha de é 0.

Passo 5

Multiplicando a primeira linha de pela segunda coluna de :
Segundo elemento da primeira linha de é 0.

Passo 6

Multiplicando a primeira linha de pela terceira coluna de :
Terceiro elemento da primeira linha de é 1.

Passo 7

Agora, multiplicamos a segunda linha de por cada coluna de .
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Então, a segunda linha de é .

Passo 8

Por fim, multiplicamos a terceira linha de por cada coluna de . Mas como a terceira linha de é toda zeros, todos os elementos da terceira linha de serão 0.

Passo 9

Juntando tudo, temos:

Passo 10

Agora, vamos calcular . Já que tem muitos zeros, a multiplicação fica mais simples.

Passo 11

Multiplicando a primeira linha de por cada coluna de :
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Então, a primeira linha de é .

Passo 12

Visto que as outras linhas de também são todas zeros, as outras linhas de também serão todas zeros.

Passo 13

Então, temos:

Resposta

Calculamos que:
A generalização para matrizes segue o mesmo princípio: cada potência adicional da matriz elevará a posição dos 1s, eventualmente resultando em uma matriz nula quando a potência for igual ao tamanho da matriz.

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