Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de tamanho e precisa calcular e . Depois, vamos generalizar para matrizes . A matéria que estamos usando aqui é álgebra linear, especificamente potências de matrizes. Vamos precisar saber como multiplicar matrizes para conseguir esses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Para multiplicar por (ou seja, calcular ), a gente pega cada linha de e multiplica pelos elementos das colunas de , somando os produtos. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Vamos escrever a matriz novamente para facilitar:
Agora, vamos calcular .
Passo 4
Multiplicando a primeira linha de pela primeira coluna de :
Primeiro elemento da primeira linha de é 0.
Passo 5
Multiplicando a primeira linha de pela segunda coluna de :
Segundo elemento da primeira linha de é 0.
Passo 6
Multiplicando a primeira linha de pela terceira coluna de :
Terceiro elemento da primeira linha de é 1.
Passo 7
Agora, multiplicamos a segunda linha de por cada coluna de .
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Então, a segunda linha de é .
Passo 8
Por fim, multiplicamos a terceira linha de por cada coluna de . Mas como a terceira linha de é toda zeros, todos os elementos da terceira linha de serão 0.
Passo 9
Juntando tudo, temos:
Passo 10
Agora, vamos calcular . Já que tem muitos zeros, a multiplicação fica mais simples.
Passo 11
Multiplicando a primeira linha de por cada coluna de :
Primeira coluna:
Segunda coluna:
Terceira coluna:
Então, a primeira linha de é .
Passo 12
Visto que as outras linhas de também são todas zeros, as outras linhas de também serão todas zeros.
Passo 13
Então, temos:
Resposta
Calculamos que:
A generalização para matrizes segue o mesmo princípio: cada potência adicional da matriz elevará a posição dos 1s, eventualmente resultando em uma matriz nula quando a potência for igual ao tamanho da matriz.