Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(e) [rrr2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz dada:
2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar o polinômio característico da matriz. Esse polinômio é encontrado calculando o determinante da matriz A - lambda I = 2 - lambda & -2 & 3 0 & 3 - lambda & -2 0 & -1 & 2 - lambda , onde é a matriz dada, é a matriz identidade e é um escalar.
Então, vamos montar :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = 2 - lambda & -2 & 3 0 & 3 - lambda & -2 0 & -1 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det 3 - lambda & -2 -1 & 2 - lambda
Como há zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha, podemos expandir o determinante em relação à primeira coluna:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz 2x2:
det 3 - lambda & -2 -1 & 2 - lambda = (3 - lambda)(2 - lambda) - (-2)(-1) = (3 - lambda)(2 - lambda) - 2
Expandindo:
= 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 5lambda + 4

Passo 5

Voltando ao determinante original:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4)
Assim, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 - 5lambda + 4)(2 - lambda)
Para simplificar, podemos reescrever:
p(lambda) = -lambda^3 + 7lambda^2 - 14lambda + 8

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores, ou seja, os valores de -lambda^3 + 7lambda^2 - 14lambda + 8 = 0 que satisfazem lambda^3 - 7lambda^2 + 14lambda - 8 = 0 :
1 - 7 + 14 - 8 = 0 Rightarrow lambda = 1 é raiz
Dividindo todos os termos por -1 para facilitar:
(lambda - 1)(lambda^2 - 6lambda + 8) = 0
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando lambda^2 - 6lambda + 8 = 0 Rightarrow lambda = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm 22 Rightarrow lambda = 4 ou lambda = 2 :
é
Fatorando :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - I = 1 & -2 & 3 0 & 2 & -2 0 & -1 & 1 , resolvemos x - 2y + 3z = 0 2y - 2z = 0 - y + z = 0 , onde 2y - 2y = 0 Rightarrow 0 = 0 é o autovetor.
Para x - 2y + 3y = x + y = 0 Rightarrow x = -y :
v = y -1 1 1
Resolvendo o sistema:
v1 = -1 1 1
Da terceira equação, A - 2I = 0 & -2 & 3 0 & 1 & -2 0 & -1 & 0 . Da segunda, substituindo:
-2y + 3z = 0 y - 2z = 0 - y = 0
Da primeira:
v = x 1 0 0
Então, o autovetor é:
v2 = 1 0 0
Podemos escolher A - 4I = -2 & -2 & 3 0 & -1 & -2 0 & -1 & -2 :
-2x - 2y + 3z = 0 - y - 2z = 0 - y - 2z = 0
Para -2x - 2(-2z) + 3z = -2x + 4z + 3z = -2x + 7z = 0 Rightarrow x = 72z :
v = z 72 -2 1
Resolvendo o sistema:
v3 = 7 -4 2
Da terceira equação, . Da segunda, . Da primeira, confirma . Logo, é livre.
Então, o autovetor é:
Podemos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, o autovetor é:
Podemos escolher para simplificar:

Resposta

O polinômio característico é -1 1 1 . Os autovalores são 1 0 0 , 7 -4 2 e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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