Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz dada:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar o polinômio característico da matriz. Esse polinômio é encontrado calculando o determinante da matriz , onde é a matriz dada, é a matriz identidade e é um escalar.
Então, vamos montar :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de :
Como há zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha, podemos expandir o determinante em relação à primeira coluna:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz 2x2:
Expandindo:

Passo 5

Voltando ao determinante original:
Assim, o polinômio característico é:
Para simplificar, podemos reescrever:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovalores, ou seja, os valores de que satisfazem :
Dividindo todos os termos por -1 para facilitar:
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando :
é
Fatorando :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são , e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Da segunda, substituindo:
Da primeira:
Então, o autovetor é:
Podemos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Da segunda, . Da primeira, confirma . Logo, é livre.
Então, o autovetor é:
Podemos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, o autovetor é:
Podemos escolher para simplificar:

Resposta

O polinômio característico é . Os autovalores são , e . Os autovetores correspondentes são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (j) Toda matriz diagonal é simétrica.
Seja , calcule . Generalize para matrizes .
Dado o ponto e o vetor , pede-se: Escrever equações paramétricas da reta que passa por e é paralela ao eixo dos .