Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz dada:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e sistemas lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos achar o polinômio característico da matriz. Esse polinômio é encontrado calculando o determinante da matriz , onde é a matriz dada, é a matriz identidade e é um escalar.
Então, vamos montar :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante de :
Como há zeros na primeira coluna abaixo da primeira linha, podemos expandir o determinante em relação à primeira coluna:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz 2x2:
Expandindo:
Passo 5
Voltando ao determinante original:
Assim, o polinômio característico é:
Para simplificar, podemos reescrever:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovalores, ou seja, os valores de que satisfazem :
Dividindo todos os termos por -1 para facilitar:
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando :
é
Fatorando :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são , e .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Da segunda, substituindo:
Da primeira:
Então, o autovetor é:
Podemos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, . Da segunda, . Da primeira, confirma . Logo, é livre.
Então, o autovetor é:
Podemos escolher :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, o autovetor é:
Podemos escolher para simplificar:
Resposta
O polinômio característico é . Os autovalores são , e . Os autovetores correspondentes são: