Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz dada:
2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, equações características e sistemas lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos achar o polinômio característico da matriz. Esse polinômio é encontrado calculando o determinante da matriz A - lambda I = 2 - lambda & -2 & 3 0 & 3 - lambda & -2 0 & -1 & 2 - lambda , onde é a matriz dada, é a matriz identidade e é um escalar.
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A - I = 1 & -2 & 3 0 & 2 & -2 0 & -1 & 1 , resolvemos x - 2y + 3z = 0 2y - 2z = 0 - y + z = 0 , onde 2y - 2y = 0 Rightarrow 0 = 0 é o autovetor.
Para x - 2y + 3y = x + y = 0 Rightarrow x = -y :
v = y -1 1 1
Resolvendo o sistema:
v1 = -1 1 1
Da terceira equação, A - 2I = 0 & -2 & 3 0 & 1 & -2 0 & -1 & 0 . Da segunda, substituindo: