Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz: [lll1 & 1 1 & 1 0 & 1 & 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear, onde precisamos encontrar três coisas para uma matriz específica: o polinômio característico, os autovalores e os autovetores dessa matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e resolver algumas equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que estamos trabalhando. Pelo enunciado, a matriz A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 é:
Aqui, temos uma matriz quadrada de ordem 3 (ou seja, 3 linhas e 3 colunas), o que é necessário para encontrar autovalores e autovetores.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico da matriz p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico é dado por:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 1 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 2 - lambda
Onde:
  • é um escalar (número real ou complexo).
  • é a matriz identidade de mesma ordem que .
  • representa o determinante da matriz.
Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o polinômico característico:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & 1 & 0 1 & 1 - lambda & 0 0 & 1 & 2 - lambda
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot 1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda - 1 cdot 1 & 0 0 & 2 - lambda + 0 cdot 1 & 1 - lambda 0 & 1
Simplificando:
= (1 - lambda)[(1 - lambda)(2 - lambda) - (0)(1)] - 1[(1)(2 - lambda) - (0)(0)] + 0
= (1 - lambda)( (1 - lambda)(2 - lambda) ) - (1)(2 - lambda)
= (1 - lambda)(2 - lambda - 2lambda + lambda^2) - (2 - lambda)
= (1 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 2) - (2 - lambda)
= (lambda^2 - 3lambda + 2) - lambda(lambda^2 - 3lambda + 2) - 2 + lambda
= lambda^2 - 3lambda + 2 - lambda^3 + 3lambda^2 - 2lambda - 2 + lambda
= -lambda^3 + 4lambda^2 - 4lambda
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 4lambda^2 - 4lambda
Podemos fatorar esse polinômio:
p(lambda) = -lambda(lambda^2 - 4lambda + 4) = -lambda(lambda - 2)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo -lambda(lambda - 2)^2 = 0 :
Isso nos dá as soluções:
Então, os autovalores são e . Note que tem multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada A = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 2 , resolvemos x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0 x2 + 2x3 = 0 , onde x1 = -x2 x3 = -12x2 é o autovetor.
Para v = -x2 x2 - 12x2 = x2 -1 1 - 12 :
Montamos a matriz v1 = -1 1 - 12 :
A - 2I = 1 - 2 & 1 & 0 1 & 1 - 2 & 0 0 & 1 & 2 - 2 = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0
Resolvemos - x1 + x2 = 0 x1 - x2 = 0 x2 = 0 :
Isso nos dá o sistema:
v = 0 0 x3 = x3 0 0 1
Simplificando, temos:
v2 = 0 0 1
Podemos expressar os autovetores em termos de :
Portanto, um autovetor correspondente a é:
Para :
Montamos a matriz :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da terceira equação, . Da primeira equação, . A terceira variável é livre (pode assumir qualquer valor).
Então, os autovetores são:
Portanto, um autovetor correspondente a é:

Resposta

  • Polinômio característico: v1 = -1 1 - 12
  • Autovalores: v2 = 0 0 1 e (com multiplicidade 2)
  • Autovetores:
    • Para :
    • Para :

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