Determine a inversa de B=[cccc2 & 2 & 1 & 3 2 & 5 & 2 & 6 1 & 2 & 2 & 3 3 & 6 & 3 & 10] usando o fato que B=I+undersetsimb undersetsimb, onde undersetsimb=[llll1 & 2 & 1 & 3].

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inversa da matriz B utilizando a fórmula B = I + undersetsimb undersetsimb. Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com a inversão de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como manipular matrizes e aplicar fórmulas de inversão para matrizes que possuem uma estrutura especial como essa.

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz identidade I de ordem 4, já que B é uma matriz 4 times 4. A matriz undersetsimb é um vetor linha dado por:
undersetsimb = 1 & 2 & 1 & 3

Passo 3

A fórmula que vamos usar para encontrar a inversa de B = I + undersetsimb undersetsimb^top é baseada na identidade para matrizes da forma I + uv^top. A inversa dessa matriz pode ser dada por:
B^-1 = I - uv^top1 + v^top u
onde u = v = undersetsimb^top no nosso caso.

Passo 4

Calculamos o produto escalar v^top u:
v^top u = undersetsimb undersetsimb^top = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 3^2 = 1 + 4 + 1 + 9 = 15
Então,
1 + v^top u = 1 + 15 = 16

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da inversa:
B^-1 = I - undersetsimb^top undersetsimb16
Isso significa que vamos subtrair da matriz identidade a matriz undersetsimb^top undersetsimb16.

Passo 6

Calculamos undersetsimb^top undersetsimb16:
undersetsimb^top undersetsimb16 = 116 1 2 1 3 1 & 2 & 1 & 3 = 116 1 & 2 & 1 & 3 2 & 4 & 2 & 6 1 & 2 & 1 & 3 3 & 6 & 3 & 9

Passo 7

Subtraímos essa matriz da identidade I:
B^-1 = I - 116 1 & 2 & 1 & 3 2 & 4 & 2 & 6 1 & 2 & 1 & 3 3 & 6 & 3 & 9 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 - 116 & 216 & 116 & 316 216 & 416 & 216 & 616 116 & 216 & 116 & 316 316 & 616 & 316 & 916

Passo 8

Realizando a subtração, obtemos:
B^-1 = 1 - 116 & 0 - 216 & 0 - 116 & 0 - 316 0 - 216 & 1 - 416 & 0 - 216 & 0 - 616 0 - 116 & 0 - 216 & 1 - 116 & 0 - 316 0 - 316 & 0 - 616 & 0 - 316 & 1 - 916
Simplificando as frações:
B^-1 = 1516 & -18 & -116 & -316 -18 & 34 & -18 & -38 -116 & -18 & 1516 & -316 -316 & -38 & -316 & 716

Resposta

A inversa da matriz B é:
B^-1 = 1516 & -18 & -116 & -316 -18 & 34 & -18 & -38 -116 & -18 & 1516 & -316 -316 & -38 & -316 & 716

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