Determine a matriz A associada à forma quadrática f(x1, x2, x3)=2 x1^2-2 x1 x2+x2^2+4 x1 x3-3 x3^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a matriz associada à forma quadrática dada por . Isso está relacionado ao conteúdo de formas quadráticas e matrizes na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma forma quadrática em uma matriz simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma forma quadrática em três variáveis pode ser representada como x1 x2 x3 , onde e é uma matriz simétrica .

Passo 3

A matriz tem os coeficientes dos termos quadráticos na diagonal e metade dos coeficientes dos termos cruzados fora da diagonal. Vamos identificar esses coeficientes na forma quadrática dada:
  • Termos quadráticos (diagonal de A):
    • tem coeficiente 2.
    • tem coeficiente 1.
    • tem coeficiente -3.
  • Termos cruzados (fora da diagonal de A):
    • tem coeficiente -2. Então, na matriz, colocamos metade disso, ou seja, -1.
    • tem coeficiente 4. Na matriz, isso vira 2.
    • não aparece na forma quadrática, o que significa que o coeficiente é 0.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz A = coef de x1^2 & metade do coef de x1x2 & metade do coef de x1x3 metade do coef de x1x2 & coef de x2^2 & metade do coef de x2x3 metade do coef de x1x3 & metade do coef de x2x3 & coef de x3^2 usando esses coeficientes:
A = 2 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 2 & 0 & -3
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A matriz associada à forma quadrática é
A = 2 & -1 & 2 -1 & 1 & 0 2 & 0 & -3

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