Mostre que se A é inversível, então
é a única inversa generalizada de A.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
que é inversível, ou seja, existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. A questão quer que mostremos que
é a única inversa generalizada de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e usar propriedades das matrizes inversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma inversa generalizada. Uma matriz
é chamada de inversa generalizada de
se ela satisfaz a condição:
Isso significa que, ao multiplicar
,
e
novamente, obtemos de volta a matriz
.
Passo 3
Sabemos que
é inversível, então existe
tal que:
Vamos verificar se
satisfaz a condição de inversa generalizada:
Portanto,
é uma inversa generalizada de
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
é a única inversa generalizada. Suponha que exista outra matriz
que também seja inversa generalizada de
, ou seja:
Queremos provar que
.
Passo 5
Multiplicando os dois lados da equação
pela inversa de
à direita, temos:
Simplificando:
Portanto,
, já que
.
Resposta
Concluímos que se
é inversível, então
é a única inversa generalizada de
.