Mostre que se A é inversível, então é a única inversa generalizada de A.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é inversível, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A questão quer que mostremos que é a única inversa generalizada de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e usar propriedades das matrizes inversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma inversa generalizada. Uma matriz é chamada de inversa generalizada de se ela satisfaz a condição:
Isso significa que, ao multiplicar , e novamente, obtemos de volta a matriz .
Passo 3
Sabemos que é inversível, então existe tal que:
Vamos verificar se satisfaz a condição de inversa generalizada:
Portanto, é uma inversa generalizada de .
Passo 4
Agora, vamos mostrar que é a única inversa generalizada. Suponha que exista outra matriz que também seja inversa generalizada de , ou seja:
Queremos provar que .
Passo 5
Multiplicando os dois lados da equação pela inversa de à direita, temos:
Simplificando:
Portanto, , já que .
Resposta
Concluímos que se é inversível, então é a única inversa generalizada de .