Mostre que se A é inversível, então A^-1 é a única inversa generalizada de A.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é inversível, ou seja, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A questão quer que mostremos que é a única inversa generalizada de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma inversa generalizada e usar propriedades das matrizes inversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma inversa generalizada. Uma matriz A G A = A é chamada de inversa generalizada de se ela satisfaz a condição:
Isso significa que, ao multiplicar , e novamente, obtemos de volta a matriz .

Passo 3

Sabemos que A A^-1 = A^-1 A = I é inversível, então existe A A^-1 A = A I = A tal que:
Vamos verificar se satisfaz a condição de inversa generalizada:
Portanto, é uma inversa generalizada de .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que A G A = A é a única inversa generalizada. Suponha que exista outra matriz que também seja inversa generalizada de , ou seja:
Queremos provar que .

Passo 5

Multiplicando os dois lados da equação A G A A^-1 = A A^-1 pela inversa de A G (A A^-1) = I à direita, temos:
A G I = I
Simplificando:
A G = I
Portanto, , já que .

Resposta

Concluímos que se é inversível, então é a única inversa generalizada de .

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