Ache o polinômio característico de A=[cc2 & -3 5 & 1]. A matriz A é diagonalizável? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio característico da matriz 2 & -3 5 & 1 e também determinar se essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e autovalores.

Passo 2

Primeiro, o polinômio característico de uma matriz A - lambda I = 2 - lambda & -3 5 & 1 - lambda é dado por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Então, vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (-3)(5)
Vamos simplificar:
(2 - lambda)(1 - lambda) = 2 cdot 1 - 2lambda - lambda cdot 1 + lambda^2 = 2 - 3lambda + lambda^2
E:
-(-3)(5) = 15

Passo 4

Somando esses resultados, temos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (2 - 3lambda + lambda^2) + 15 = lambda^2 - 3lambda + 17
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = lambda^2 - 3lambda + 17

Passo 5

Para determinar se a matriz lambda^2 - 3lambda + 17 = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores resolvendo a equação :

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 - 682 = 3 pm raiz-592
Como o discriminante ( lambda = 32 pm raiz592i ) é negativo, os autovalores são complexos:

Passo 7

Uma matriz é diagonalizável se possui autovalores distintos e um conjunto suficiente de autovetores. Nesse caso, como os autovalores são complexos e distintos, a matriz é diagonalizável no conjunto dos números complexos.

Resposta

O polinômio característico de é . A matriz é diagonalizável, pois possui autovalores complexos distintos.

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