Ache o polinômio característico de
. A matriz
é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio característico da matriz
e também determinar se essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de determinantes e autovalores.
Passo 2
Primeiro, o polinômio característico de uma matriz
é dado por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores. Então, vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
Vamos simplificar:
E:
Passo 4
Somando esses resultados, temos o polinômio característico:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Para determinar se a matriz
é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores resolvendo a equação
:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como o discriminante (
) é negativo, os autovalores são complexos:
Passo 7
Uma matriz é diagonalizável se possui autovalores distintos e um conjunto suficiente de autovetores. Nesse caso, como os autovalores são complexos e distintos, a matriz
é diagonalizável no conjunto dos números complexos.
Resposta
O polinômio característico de
é
. A matriz
é diagonalizável, pois possui autovalores complexos distintos.