Seja uma Transformação Linear cuja matriz com relação à base canônica seja Qual é a matriz do operador T com relação à base beta=(-1,1,0),(1,-1,1),(0,1,-1) ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear [T]canônica = 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 cuja matriz na base canônica é dada por:
ô
Queremos encontrar a matriz de na base . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos construir a matriz de mudança de base P = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 . Essa matriz tem como colunas os vetores da base expressos na base canônica. Assim,
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar a matriz inversa de P^-1 = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 ^-1 , ou seja, P^-1 = -1 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 . A matriz inversa nos ajuda a transformar de volta da base canônica para a base . Vamos calcular :
Após calcular (utilizando métodos como o de adjunta ou escalonamento), obtemos:
Passo 4
Agora, usamos a fórmula de mudança de base para encontrar a matriz de [T]beta = P^-1 [T]canônica P na base [T]beta = -1 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 :
ô
Vamos multiplicar as matrizes:
Realizando as multiplicações passo a passo, obtemos a matriz desejada.
Resposta
A matriz do operador [T]beta = 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 com relação à base é: