Considere f: R^3 R^3 uma Transformação Linear definida por f(x, y, z)=(z, x-y,-z) : ache ker f, em seguida exiba uma base e a dimensão de ker f.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o núcleo ( ) da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear, como encontrar a solução de um sistema de equações lineares e determinar uma base e a dimensão desse núcleo.

Passo 2

O núcleo de f(x, y, z) = (z, x - y, -z) = (0, 0, 0) , denotado por z = 0 x - y = 0 -z = 0 , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:
Isso nos leva a um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Primeira equação:
    Isso nos diz que deve ser igual a zero.
  2. Segunda equação:
    Podemos rearranjar para encontrar .
  3. Terceira equação:
    Isso confirma novamente que .
Portanto, as soluções são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.

Passo 4

Podemos expressar o vetor (y, y, 0) = y cdot (1, 1, 0) de outra maneira para facilitar a identificação de uma base. Observe que:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser obtido multiplicando o escalar pelo vetor .

Passo 5

Assim, podemos concluir que o núcleo de , (1, 1, 0) , é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é:
Como a base consiste em um único vetor, a dimensão do núcleo é 1.

Resposta

ker f = , (y, y, 0) mid y in R ,
Base de :
Dimensão de : 1

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