Considere uma Transformação Linear definida por : ache , em seguida exiba uma base e a dimensão de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o núcleo () da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que é o núcleo de uma transformação linear, como encontrar a solução de um sistema de equações lineares e determinar uma base e a dimensão desse núcleo.
Passo 2
O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja, queremos encontrar todos os tais que:
Isso nos leva a um sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Primeira equação:
Isso nos diz que deve ser igual a zero.
Segunda equação:
Podemos rearranjar para encontrar .
Terceira equação:
Isso confirma novamente que .
Portanto, as soluções são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.
Passo 4
Podemos expressar o vetor (y, y, 0) = y cdot (1, 1, 0) de outra maneira para facilitar a identificação de uma base. Observe que:
Isso significa que qualquer vetor no núcleo pode ser obtido multiplicando o escalar pelo vetor .
Passo 5
Assim, podemos concluir que o núcleo de , (1, 1, 0) , é gerado pelo vetor . Portanto, uma base para é:
Como a base consiste em um único vetor, a dimensão do núcleo é 1.