Calcule os autovalores e os autovetores associados de:
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os autovalores e os autovetores de uma transformação linear
definida por
. Vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e como encontrar esses autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
na forma de uma matriz. Para uma transformação
, a matriz associada é:
No nosso caso,
, então a matriz
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade:
Portanto, temos:
Passo 4
Vamos calcular o determinante de
:
Igualando a zero para encontrar
:
Então, temos um único autovalor
com multiplicidade 2.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a
. Precisamos resolver a equação:
Substituindo
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Portanto, os autovetores têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real diferente de zero.
Resposta
O autovalor é
com multiplicidade 2. Os autovetores associados são todos os vetores da forma
, onde
é um número real diferente de zero.