Calcule os autovalores e os autovetores associados de: T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(3 x-2 y, 3 y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os autovalores e os autovetores de uma transformação linear definida por . Vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, determinantes e como encontrar esses autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = a & b c & d na forma de uma matriz. Para uma transformação A = 3 & -2 0 & 3 , a matriz associada é:
No nosso caso, , então a matriz é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de I = 1 & 0 0 & 1 que satisfazem a equação característica:
A - lambda I = 3 - lambda & -2 0 & 3 - lambda
Aqui, é a matriz identidade:
Portanto, temos:

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (3 - lambda)(3 - lambda) - (0)(-2) = (3 - lambda)^2 :
(3 - lambda)^2 = 0 Rightarrow lambda = 3
Igualando a zero para encontrar :
Então, temos um único autovalor com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a (A - lambda I)v = 0 . Precisamos resolver a equação:
3 - 3 & -2 0 & 3 - 3 x y = 0 & -2 0 & 0 x y = -2y 0 = 0 0
Substituindo -2y = 0 Rightarrow y = 0 :

[
x 0



]
Isso nos dá a equação:
Portanto, os autovetores têm a forma , onde pode ser qualquer número real diferente de zero.

Resposta

O autovalor é x 0 com multiplicidade 2. Os autovetores associados são todos os vetores da forma , onde é um número real diferente de zero.

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